Розробка алгоритму та програми чисельного розвязку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою

Реферат

Дипломна робота: 72 с., 8 рис., 5 табл., 1 додаток, 23 джерела.

Мета роботи – розробка алгоритму та програми чисельного розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою матрицею.

При виконанні роботи використані програми Microsoft Office Word 2007 ServicePack 1, Microsoft Office PowerPoint 2007 ServicePack 1 та Microsoft Visual Studio 2008 ServicePack 1, а також основні поняття лінійної алгебри та математичного моделювання.

В результаті роботи розроблена програма чисельного розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою матрицею, яка економно витрачає оперативну пам'ять, що дозволяє розв’язувати багато систем високих ступенів за допомогою персональних комп'ютерів. Для розв'язання таких систем при класичній схемі зберігання всіх елементів матриці в оперативній пам'яті довелось би залучати суперкомп'ютери.

СИСТЕМА ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ, ОПЕРАТИВНА ПАМ'ЯТЬ, МАТРИЦЯ, АЛГОРИТМ, ПРОГРАМА.

Зміст

Перелік умовних скорочень і термінів

Вступ

1 Огляд методів розв’язку СЛАР, що виникають у МСЕ

1.1 Точні методи розв’язку СЛАР

1.1.1 Метод Гауса

1.1.2 Метод Крамера

1.1.3 Метод головних елементів

1.1.4 Схема Халецького

1.1.5 Метод квадратного кореня

1.1.6 Метод прогону

1.1.7 Матричний метод

1.2 Ітераційні методи розв’язку СЛАР

2.1 Метод простих ітерацій

1.2.2 Метод Зейделя

1.2.3 Метод релаксації

1.2.4 Багатосітковий метод

1.2.5 Метод Ланцоша

2 Схеми компактного зберігання розріджених матриць

2.1 Перша схема

2.2 Друга схема

3 Оптимізація обчислень

4 Чисельні експерименти

4.1 Пружне деформування тонкостінної просторової рами

4.2 Контактна взаємодія оболонкової конструкції і ложемента

Висновки

Перелік посилань

Додаток А

Перелік умовних скорочень і термінів

1. Умовні скорочення

МСЕ – метод скінчених елементів.

СЛАР – система лінійних алгебраїчних рівнянь.

2. Терміни

Розмірність матриці – кількість невідомих в матриці.

Розріджена матриця – матриця, в якій більшість елементів дорівнює нулю.

Оперативна пам'ять – енергозалежний вид пам'яті комп'ютера, в якій зберігаються дані, необхідні процесору в даний час.

Крайова задача – система диференціальних рівнянь з визначеними лінійними співвідношеннями між значеннями шуканих функцій на кінцях інтервала інтегрування.

Вступ

Зараз у зв'язку з бурхливим розвитком обчислювальних засобів широке поширення одержали інформаційні технології, що мають різноманітну теоретичну і прикладну спрямованість. Серед них особливе місце займають системи автоматизованого проектування (САПР), невід'ємну частину яких становлять підсистеми математичного моделювання різних фізичних процесів. Одним із самих перспективних напрямків розвитку математичного моделювання є широке використання чисельних методів, таких як метод скінчених елементів (МСЕ). Це чисельний метод для диференціальних рівнянь, що зустрічаються у фізиці [1]. Виникнення цього методу пов'язане з розв’язком задач космічних досліджень. Уперше він був опублікований у роботі Тернера, Клужа, Мартіна і Топпа. Ця робота сприяла появі інших робіт; був опублікований ряд статей із застосуванням методу скінчених елементів до задач будівельної механіки і механіки суцільних середовищ. Важливий внесок у теоретичну розробку методу зробив в 1963 р. Мелош, який показав, що метод скінчених елементів можна розглядати як один з варіантів добре відомого методу Релєя-Рітца. У будівельній механіці метод скінчених елементів мінімізацією потенційної енергії дозволяє звести задачу до системи лінійних рівнянь рівноваги [2,3].

Однією з існуючих труднощів, що виникають при чисельній реалізації розв’язку контактних задач теорії пружності методом скінчених елементів, є розв’язоксистем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) великої розмірності виду . За умови зберігання всіх елементів матриці A в оперативній пам'яті навіть комп'ютер з 24 ГБ оперативної пам'яті здатен вирішити СЛАР з кількістю невідомих не більше56755. Якщо ж невідомих більше, доведеться залучати суперкомп'ютер. Тому актуальною є проблема знаходження схеми компактнішого зберігання матриці СЛАР в оперативній пам'яті.

Зараз розроблена велика кількість програмних систем, що автоматизують різні аспекти чисельного моделювання проблем механіки (ANSYS, COSMOS, FORTU, МІРЕЛА, ПОЛЕ, ПРОЧНОСТЬ і ін.).

Одним з головних блоків усіх цих систем є модуль, відповідальний за розв’язок СЛАР. Слід зазначити, що звичайно розв’язок СЛАР займає більшість часу розрахунку задачі на комп'ютері. Крім того, від цього етапу прямо залежить якість і точність розв’язку задачі в цілому. Тому від вибору методу розв’язку СЛАР і алгоритму його реалізації багато в чому залежить подальший успіх чисельного розрахунку задачі МСЕ.

Більшість існуючих методів розв’язку СЛАР в МСЕ розроблені в припущенні того, що матриця A має стрічкову структуру, причому ширина стрічки m<<n, де n×n– розмірність A. Однак, при використанні МСЕ для чисельного розв’язку контактних задач можливі випадки, коли ширина стрічки m→n.

1. Огляд методів розв’язку СЛАР, що виникають у МСЕ

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать