Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений

КУРСОВАЯ работа

Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений

1. Исходные данные

1. Задан следующий тензор напряжений:

МПа.

2. Направляющие косинусы площадки, по которой нужно вычислить напряжения, равны:

.

1.1 Определение инвариантов напряженного состояния

Инвариантом называется величина, независящая от системы координат. В частности, напряженное состояние в любой точке является инвариантом, несмотря на то, что составляющие тензора в разных системах координат, т.е. напряжения, действующие по координатным площадкам, различны. Однако, имеются выражения, составленные из напряжений по координатным площадкам, которые остаются постоянными в любой системе координат. Эти выражения и называются инвариантами напряженного состояния в точке или инвариантами тензора напряжений.

( 1)

1.2 Определение главных напряжений

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:

(2)

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из(1), получаем:

Кубические уравнения общего вида могут иметь комплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

Пусть задано кубическое уравнения:

(3)

После подстановки

(4)

получим кубичное уравнение (приведенное):

(5)

Здесь и вычисляются по формулам:

(6)

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

(7)

(8)

Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корни исходного уравнения.

Решим наше уравнение (2):

1.4 Проверка правильности вычисления главных напряжений и положения главных осей тензора напряжений

Проверка правильности вычисления главных напряжений

Для проверки правильности вычисленных главных напряжений определим инварианты тензора напряжений:

Как видим, инварианты получились такими же, как и в выражениях (1). Этот результат также подтверждает вывод о том, что напряженное состояние в точке нагруженного тела является инвариантным объектом.

Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений

Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений основана на свойствах матрицы направляющих косинусов (13). Она относится к ортогональным матрицам и обладает следующими свойствами:

1. Определитель ортогональной матрицы равен единице.

2. Сумма квадратов элементов, входящих в каждую строку (столбец) равна единице.

3. Если рассматривать каждую строку матрицы как вектор-строку, а каждый столбец – как вектор-столбец, то скалярные произведения двух разных векторов-строк (векторов-столбцов) равны нулю.

Воспользуемся первым свойством ортогональных матриц.

Подставив в (13) вычисленные направляющие косинусы, получим;

. (23)

Определитель этой матрицы равен единице:

.

Так как определитель получился равным 1 , то система координат – правая. Поэтому знаки направляющих косинусов остаются без изменения.

.

Соответствующие углы будут равны:

.

1.5 Вычисление максимальных касательных напряжений, полного, нормального и касательного напряжений по заданной площадке

Вычисление максимальных касательных напряжений

В теории упругости доказывается, что максимальные касательные напряжения действуют по двум взаимно перпендикулярным площадкам, расположенным под к главным площадкам, по которым действуют главные нормальные напряжения и.

Рис. 1. Максимальные касательные напряжения

Вычисление полного, нормального и касательного напряжений по площадке с заданными направляющими косинусами

Направляющие косинусы нормали к заданной площадке равны:

Проекции полного напряжения, действующего на заданной площадке, на координатные оси найдем по формулам:

(24)

Полное напряжение на этой площадке найдем по формуле:

.

Нормальное напряжение по этой площадке определим, спроектировав координатные составляющие на нормаль к площадке:

.

Касательное напряжение на этой площадке найдем по теореме Пифагора (см. рис. 2):

.

Рис. 2. Полное нормальное и касательное напряжения, действующие по заданной площадке

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать