BigEdu.ru
» » » Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Вернуться назад

Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда

Содержание

Введение

Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле

Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда

Заключение

Список используемой литературы


Введение

В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.

Определим некоторые понятия. Пусть k - конечное расширение поля Q , a - некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на простые идеалы

где для почти всех p.

Через N (a) обозначим абсолютную норму идеала a, т.е. Определим дзета-функцию Дедекинда :

Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд

Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле

Докажем следующую теорему

Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда

где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов где S - исключительное множество в k, - группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S, - подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из , которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S, - подгруппа в подгруппе главных идеалов в , состоящая из таких главных идеалов , для которых и

Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.

1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.

где - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,

где

Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен

в то время как соответствующий локальный множитель справа равен

Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что для всех, имеет место следующее легко проверяемое тождество

отсюда, если положить, следует нужное равенство.

2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства

и докажем, что функциятождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида

соответствующих разветвленным идеалам p.

теорема дзета функция дедекинд

Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке , где . В силу функционального уравнения представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому , также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций . Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.

Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда

Пусть k=Q , K=Q ( ), где - первообразный корень из 1 степени m, . Тогда

(1)

где - дзета-функция Римана, - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.

Выведем функциональное уравнение

Воспользуемся функциональным уравнением для :

,

где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим

,

,

используя свойство сумм Гаусса, получим

,

.

Пусть для любого вещественного характера , тогда

,

.

Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим

,

,

,

.

Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:

получим

где D - дискриминант поля K.

Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q , K=Q ( ).

Заключение

В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q , K=Q ( ), где - первообразный корень из 1 степени m.

Список используемой литературы

1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328 - 330

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать
Курсовые работы по математике Содержание Введение Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле Глава 2. Вывод функционального
Оценок: 1000 (Средняя 5 из 5)

Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов.

© 2016 - 2022 BigEdu.ru