Визуализация численных методов

Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Факультет телекоммуникации, информатики и управления

Кафедра организации управления связи

По курсу: “Информатика”

По теме: “Визуализация численных методов”

Написал:

Плишкин М. Ю

группа МЕ-72

Преподаватель:

Кандидат технических наук , доцент

Е.Е.Минина

г. Екатеринбург. 2010 г.

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

1.1 Метод Эйлера

1.2 Метод Рунге – Кутта

2. Блок-схемы

3. Виды, формы

3.1 Начальная форма

3.2 Конечная форма

4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic

Заключение

Введение

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнение в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милны, Адамса – Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф в выражении (1) не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвёртого порядка точности.

1. Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить ОДУ вида y` = 4y/x с заданными начальными значениями x0=1, xk=1.4, y0=2, h=0.05. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения y=x^4с. Требуется решить уравнение двумя методами: Эйлера модифицированного и Рунге – Кутта четвёртого порядка, сравнить результаты и сделать вывод какой метод эффективнее использовать, построить графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

y`=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой,

y=k*x+b,

обозначается как “k”)(рис 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши

Существующие решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывная в некоторой области R, определяемой неравенствами |x – x0| < a; |y – y0| > b, то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определённое в окрестности |x – x0| < h, где h > 0.

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0,X] – области непрерывного изменения аргумента x множеством wh, состоящего из конечного числа точек x0<x1<...<xn=X – сеткой.

При этом xi называют узлами решётки.

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0,X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1,y2,...,yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

1.1 Метод Эйлера

Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y`=f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведём прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα=f(xi,yi) (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда

y i+1=yi+Δy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС

tgα= Δy/h (3).

Приравни

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать