Обчислювальна математика

РЕФЕРАТ

Об'єкт дослідження - система лінійних рівнянь.

Ціль роботи – опис метода Крамера, розробка програми, за допомогою якої методом Крамера можна вирішити систему лінійних рівнянь.

Метод дослідження - вивчення літератури, написання й налагодження програм на комп'ютері.

Дану програму можна використати для знаходження невідомі системи лінійних рівнянь.

Розроблено одну програму, що демонструє знаходження невідомі системи лінійних рівнянь.

Програму написано мовою С++ у середовищі Visual C++.

ВИЗНАЧНИК, МІНОР, АЛГЕБРЇЧНЕ ДОПОВНЕННЯ, МАТРИЦЯ, АЛГОРИТМ, ФУНКЦІЇ, ПАРАМЕТРИ, ТИПИ, ОПЕРАТОРИ, ЗАГОЛОВНІ ФАЙЛИ, КРАМЕР, ЗМІННА, ДЕМОНСТРАЦІЙНА ПРОГРАМА.

ЗМІСТ

ВСТУП

1. ВИЗНАЧНИК ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

1.1Визначники другого та третього порядку

1.2 Властивості визначників, теорема розкладання

2. МЕТОД КРАМЕРА

2.1 Теорема Крамера для системи 2 рівнянь із 2 невідомими

2.2 Теорема Крамера для системи 3 рівнянь із 3 невідомими

2.2 Теорема Крамера для системи n рівнянь із n невідомими

3 Програмна реалізація

3.1 Блок схема

3.2 Програма

3.3 Приклад роботи програми

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Рішення систем лінійних рівнянь є однієї з важливих обчислювальних задач. Більшість задач обчислювальної практики зводяться до рішення систем лінійних рівнянь. Це задачі з області електротехніки, радіоелектроніки, механіки, статистики. В даній курсовій роботі я описую один із методів рішення систем лінійних рівнянь, а саме метод Крамера.

Серйозні практичні задачі часто приводять до таких систем, які містять сотні й навіть тисячі лінійних рівнянь. Без допомоги комп'ютера, ці системи вирішити неможливо. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом дозволяє скоротити час, витрачений на її рішення в порівнянні з ручним способом, знижується ймовірність допущення помилок, підвищується точність отриманих результатів.

А тому у даній курсовій роботі я представив програму, написану мовою С++, за допомогою якої ми можемо вирішити систему лінійних рівнянь.

1. ВИЗНАЧНИК ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Перед тим, як розглядати теорему Крамера необхідно визначити, що називають визначником. Також навести його властивості, та поняття, які стосуються визначника.

1.1.Визначники другого та третього порядку

Розглянемо таблицю із чотирьох чисел виду

Числа в таблиці мають по два індекси. Перший індекс вказує номер рядка, другий - номер стовпця.

Визначником першого порядку називають вираження виду:

(1.1)

Числа а _{11, …,} а ₂₂ називають елементами визначника.

Діагональ, утворена елементами а ₁₁ ; а ₂₂ називається головною, а діагональ, утворена елементами а ₁₂ ; а ₂₁ - побічною.

Таким чином, визначник першого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної й побічної діагоналей.

Помітимо, що у відповіді виходить число.

Наприклад. Обчислити:

Визначником третього порядку називається вираження виду:

(1.2)

Елементи а _11; а ₂₂ ; а ₃₃ – утворять головну діагональ.

Числа а _13; а ₂₂ ; а ₃₁ – утворять побічну діагональ.

Зобразимо, схематично, як утворяться доданки із плюсом і з мінусом:

" + " " – "

Рис.1.1.утворення доданків

Із плюсом входять: добуток елементів на головній діагоналі, інші два доданки є добутком елементів, розташованих у вершинах трикутників з основами, паралельними головній діагоналі.

Доданки з мінусом утворяться по тій же схемі відносно побічної діагоналі.

Це правило обчислення визначника третього порядку називають правилом трикутників.

Наприклад. Обчислити за правилом трикутників:

1.2 Властивості визначників, теорема розкладання

Наведені далі властивості виконуються для визначників будь-якого порядку. Всі вони можуть бути доведені безпосередньою перевіркою, заснованої на правилах обчислення визначників.

Властивість 1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.

. (1.3)

Розкриваючи обидва визначники, переконуємося у справедливості рівності.

Властивість 1 установлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому всі подальші властивості визначника будемо формулювати й для рядків і для стовпців.

Властивість 2. При перестановці двох рядків (або стовпців) визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину.

. (1.4)

Властивість 3. Загальний множник елементів рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника.

. (1.5)

Властивість 4. Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпця), то він дорівнює нулю.

(1.6)

Це властивість можна довести безпосередньою перевіркою, а можна використати властивість 2.

Позначимо визначник за D. При перестановці двох однакових першого й другого рядків він не зміниться, а по другій власти

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать