Практическое применение интерполирования гладких функций

Специальность

«Математические методы в экономике»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Практическое применение интерполирования гладких функций

2010

Содержание

Введение

1. Постановка задачи интерполяции

1.1 Определение термина интерполяции

1.2 Как выбрать интерполянт

1.3 Полиноминальная интерполяция

1.4 Интерполяционный полином Лагранжа

1.5Про погрешность полинома

2.Один вид обобщенной интерполяции

2.1 Обобщенная интерполяция

2.2 Важное представление гладкой функции

Заключение

Список использованной литературы

Введение

1. Постановка задачи интерполяции

1.2 Как выбрать интерполянт

Такие функции строятся на основе комбинаций из элементарных функций.

(2) ,

– фиксированная линейно- независимая система, а () - пока неизвестные параметры.

Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R - пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и - заданная конечная или счетная система функций из R , такая, что их любая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечной совокупности точек x₁ , x₂ , …, x_n (x_i ≠ x_j при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из R найти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций так, чтобы в заданных точках значения f и φ совпадали. Другими словами, определить константы a₁ , a₂ , …, a_n так, чтобы

(3) ()

Совершенно ясно, почему число коэффициентов должно совпадать с числом узлов интерполяции x_i . Это нужно для того, чтобы матрица системы была квадратной (т.е. число неизвестных совпадало бы с числом условий, из которых находятся эти неизвестные). Кроме того, для однозначной разрешимости данной системы (при произвольной правой части) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е.:

:

Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетной функции, поэтому за часто берут такие системы как:

{1, х, х2 , …, хn }, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)} ,

{1, ex b1 , ex b2 , …, ex b n } (biÎR, bi≠bj (i≠j), nÎN).

Задача 1.

Пусть задана интерполяционная таблица:

i	0	1	2	3
0	2	3	5
1	3	2	5

Построить интерполяционный полином Лагранжа.

Решение. Из (8) следует:

1.5 Про погрешность полинома

По строению (). Но, в общем, это не так и (,), так как интерполирование предполагает приближенное нахождение:

()

И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав, разность этого выражения нужно найти.

Замечание 1 .

()

чем постоянно записывать равенство, слагаемое называют остаточным членом (или погрешность интерполяции).

Теорема 1.

Если [a,b] [2]

(9) (,), где

[a,b] в промежутке беспрерывно n+1 раз объясняет совокупность дифференцируемых функций.

[a,b] -[a,b];

Берем любую точку и зафиксируем ее (,), рассмотрим вспомогательную функцию:

(10) , ().

- свободный параметр, который открыто объясняет ().

Значение берем проходящим через равенство . В это время концы , будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.

Существует : ()

Сейчас для этой теоремы берем точки :

Существует : ()

Когда закончим этот процесс, то получим следующее:

$:

Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.

Следствие 1:

Пусть .

В то время (); над ними: .

Задача 3:

С помощью узлов построить полином для этой функции, при:

1) . Оценить погрешность полинома;

2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.

Решение:

1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:

2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем:

.

Замечание 2:

Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях:

В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома , то ()

В этом случае из Следствия 1 следует, что

. Если свободная интерполяция находится в отрезке [a,b], то с помощью замены этот отрезок можно заменить на [-1;1]. В это время точки

(11) (, )

будут однородными с корнями , а остаточный член записывается следующим образом:

.

Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.

2. Один вид обобщенной интерполяции

2.1 Обобщенная интерполяция <

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать