Выбор и построение интерполирующей функции

Министерство науки и образования Украины

Сумской государственный университет

кафедра информатики

Численные методы

Курсовая работа

на тему:

“ Выбор интерполирующей функции к заданной и ее построение ” Сумы 2006

Содержание

Постановка задачи.

1. Введение.

2. Теоретическая часть.

3. Практическая реализация:

3.1 Программа на языке Pascal.

3.2 Решение в Excel.

4. Выводы.

Список использованной литературы.

Приложение.

Постановка задачи

Найти значение функции у в точке х=0.47 , используя интерполяционную схему Эйткина, проверить правильность решения с помощью кубического сплайна. Значения функции у приведены в таблице:

i	0	1	2	3	4	5
xi	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
yi	0,38942	0,47943	0,56464	0,64422	0,71736	0,78333
x=	0,47

Введение

Пусть на отрезке задано N точек , которые называются узлами интерполирования, и значения некоторой функции в этих точках: . Нужно построить функцию ( функцию, которая интерполирует), которая совпадала бы с в узлах интерполяции и приближала ее между ними, то есть такую, что . Геометрическая интерпретация задачи интерполяции состоит в том,что нужно найти такую кривую некоторого вида, что проходит через заданную систему точек С помощью этой кривой можно найти приближенное значение , де Задача интерполяции становится однозначной, если вместо произвольной функции искать многочлен степени не выше , который удовлетворяет условия:

.

Интерполяционный многочлен всегда однозначный, поскольку существует только один многочлен степени , который в данных точках принимает заданные значения. Существует несколько способов построения интерполяционного многочлена. Дальше мы рассмотрим основные способы подробнее.

Теоретическая часть

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Логранжа, что принимает в узлах интерполяции соответственно значений имеет вид:

(*)

С формулы видно, что степень многочлена равна , и многочлен Логранжа удовлетворяет все условия задачи интерполяции.

Если расстояние между всеми соседними узлами интерполирования одинаково, то есть , формула (*) значительно упрощается. Введем новую переменную , тогда Теперь интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

. (**)

Тут .

Коэффициенты , которые стоят перед величинами в формуле (**), не зависят от функции и от шага , а зависят только от величин Поэтому таблицами составленными для различных значений , можно воспользоватся при решении различных задач интерполирования для равноотстоящих узлов.

Возникает вопрос, на сколько близко многочлен Логранжа приближается к функции в других точках (не узловых), то есть на сколько большой остаток. На функцию накладывают дополнительные ограничения. А именно: предполагают, что в рассмотренной области изменения , которые содержат узлы интерполяции, функция имеет все производные до -го порядка включительно. Тогда оценка абсолютной погрешности интерполяционной формулы Логранжа имеет вид:

, (***)

где .

Интерполяционный многочлен Ньютона

Разделенными разностями называются соотношения вида:

- первого порядка:

- второго порядка:

(5.15)

…………………………………………………;

- n - го порядка:

С помощью разделенных різностей можно построить многочлен:

(5.16)

Он называется интерполяционным многочлен Ньютона для заданной функции. Эта форма записи более удобна для использования, поскольку при добавлении к узлам x₀ , x₁ , …, x_n нового x_n+1 все вычесленные раньше члены остаются без изменений, а в формулу добавляется только одно слогаемое. При использовани формулы Логранжа нужно вычислять все заново.

Если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента (постоянную величину , i=0,1,…,n называют шагом интерполяции), то интерполяционный многочлен принимает вид:

(5.17)

Здесь - конечные разности к -го порядка. Они определяются по формуле где -биномиальные коэффициенты.

Сравнивая эту формулу с предыдущей, легко установить, что при конечные и разделенные разности связаны соотношением вида:

(5.18)

Для практического использования формулу (5.17) записывают в преобразованном виде. Для этого введем новую переменную , положив где - количество шагов , необходимое для достижения точки из точки . Таким образом получим первую интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед, то есть в начале таблицы значений:

(5.19)

Предположим, что точка интерполяции расположена вблизи конечной точки таблицы. В этом случае узлы интерполяции следует брать таким образом Формула Ньютона для интерполяциии назад имеет вид:

(5.20)

Разделенные разности можно выразить через конечные разности, если воспользоваться возможностью переставлять в них аргументы, и соотношением (5.18), откуда следует:

;