Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

НА ТЕМУ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. [1]

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. [1]

Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.), от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают, способна ли данная система справляться с потоком заявок. [1]

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.

Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с "обслуживающими организациями" в буквальном смысле слова. Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться: электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. д. [2]

Задачи массового обслуживания условно делят на задачи анализа и задачи синтеза - оптимизации систем массового обслуживания. Первые предполагают определение основных параметров функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках: структура системы, дисциплина обслуживания, потоки требований и законы распределения времени на их обслуживание. Вторые направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания. [4]

Оптимизационные модели широко используются в экономике и технике. Среди них задачи подбора сбалансированного рациона питания, оптимизации ассортимента продукции, транспортная задача и пр., и пр.

Задача оптимизации – задача выбора из множества возможных вариантов наилучшего, оптимального. Оптимизация – от латинского слова «оптимус» - наилучший – поиск наилучшего, поиск наилучшего проектного изделия. [4]

Каждая задача оптимизации обязательно должна иметь три компоненты:

неизвестные (что ищем, то есть, план);

ограничение на неизвестные (область поиска);

целевая функция (цель, для которой ищем экстремум).

Математическая модель, та которая определена с помощью математических формализмов. Математическая модель не является точной, а является идеализацией.

Определение параметров состояния - задача моделирования. Определение переменных проектирования – задачи проектирования или задачи оптимизации. [3]

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все возможные состояния ее и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований в системе - Р_n .

Важным параметром функционирования СМО является также среднее число требований, находящихся в системе N_syst , то есть в очереди на обслуживание, а также средняя длина очереди N_och . Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются: число каналов обслуживания - n; число требований - m; интенсивность поступления одного требования на обслуживание - λ, то есть число поступлений требований в единицу времени; интенсивность обслуживания требований - μ.

Многоканальная СМО с отказами

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:
S₀ - все каналы свободны, S₁ - занят ровно один канал, остальные свободны,

S_k - заняты ровно k каналов, остальные свободны, S_n - заняты все n каналов.

Граф состояний СМО представлен на рис.1. Разместим граф, т.е. проставим у стрелок интенсивности соответствующих потоков событий. По стрелкам слева на право систему переводит один и тот же поток - поток заявок с интенсивностью l.

Рис.1

Если система находиться в состоянии S_k (занято k каналов) и пришла новая заявка, система переходит (перескакивает) в состояние S_k+1

Определим интенсивности потоков событий

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать