Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Московский Государственный Институт

Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

По дисциплине:

« Дискретная Математика »

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x2 =y2 =(xy)3 > »

Выполнил: .

Группа: ЭКТ-35

Проверил: Клюшин А.В.

Москва 2009г.

Оглавление.

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление………………………………………………………………...2

1. Теоретическая часть…………………………………………………...3

1.1 Понятие группы……………………………………………………3

1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7

2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9

2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

2.4 Составление таблицы подгрупп, порожденных

двумя элементами………………………………………………………11

2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы…………………………………..……..15

.

1. Теоретическая часть.

1.1. Понятие группы.

Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G ´ G ® G. Если (g1,g2)ÎG 1 ´ G 2 , то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g 1 • g 2 , где (•) — знак

бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2) $ e ÎG: e •g = g •е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) " g ÎG $ g-1 ÎG : g • g -1 = g -1 • g = e, элемент g -1 для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) " g1 , g2 Î G g1•g2 = g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g ÎG | gh = hg для любого h ÎG } .

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g -1

1 и g -1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

g 1

-1 = g 1

-1 • e= g 1

-1 •g • g 2

-1 = e • g 2

-1 = g 2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и

столбца h ÎG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е Î H;

2) " h1 , h2 Î H h1 • h2 ÎH;

3) " h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элем

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать