Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій

Міністерство освіти і науки України

Кафедра вищої математики

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни

„Вища математика”

за темою:

Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій.

Виконав студент групи

Викладач

Дніпропетровськ 2010

Атестаційний аркуш

захисту курсової роботи

студента_____________________________________________________

_____________________________________________________________

Якість оформлення курсової роботи

Якість виступу на захисті курсової роботи

Рівень знань базового предмету

Додаткові питання при захисті курсової роботи:

______________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оцінка відповідей на додаткові питання

КІНЦЕВА ОЦІНКА

Дата захисту __________ 2010 р.

Підпис викладача _________________

Підписи комісії ____________________

Зміст

Вступ

1. Постановка задачі

2. Перетворення Фур'є

2.1 Зображення функції інтегралом Фур’є

2.2 Комплексна форма інтеграла Фур’є

2.3 Інтегральне перетворення Фур’є

3. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції

4. Розрахункова частина

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є з погляду фізики відповідає на запитання про розподіл енергії процесу по гармоніках, дискретно, тобто стрибком, що міняє частоту. Такі явища, як світлові промені або шуми при радіозв'язку містять у своєму складі гармоніки всіх частот та у дану схему не укладаються. Безперервна зміна частоти приводить до поняття інтеграла Фур'є, у якому розподіл енергії по частотах характеризується спектральною щільністю. Кожній окремій узятій частоті відповідає нульова енергія, однак вона здобуває вагу, якщо розглядається деякий інтервал частот. Подібно повній масі, що у випадку безперервного розподілу виражається інтегралом від щільності, до інтеграла зводиться й повна енергія процесу, неперервно розподілена по частотах. Цей підхід став надбанням фізиків і інженерів, чиї професійні інтереси пов'язані з теорією передачі сигналів (радіофізика, оптика, акустика, кібернетика, електричні лінії тощо). Разом з тим, незалежно від фізичного змісту гармонійний аналіз має іншу важливу складову, він - ефективний засіб рішення широкого класу задач із різних галузей науки.

Перетворення Фур'є - це самостійна операція математичного аналізу, досліджувана в курсовій роботі саме в цій якості.

1. Постановка задачі

Для неперіодичної функції , знайти розклад інтеграла Фур'є амплітудний і фазовий спектри.

Ця задача має відношення до розділу математики, який називають гармонійний аналіз (або Фур'є аналіз).

Спектральный аналіз (Spectral analysis, Синоніми: Фур'єАналіз, Гармонійний аналіз, Frequency analysis) - це різновид обробки даних, пов'язаний з перетворенням їхнього частотного подання або спектра. Спектр виходить у результаті розкладання вихідної функції, що залежить від часу (часовий ряд) або просторових координат (наприклад, зображення), у базис деякої періодичної функції. Найбільш часто для спектральної обробки використовується спектр Фур'є, одержуваний на основі базису синуса (розкладання Фур'є, перетворення Фур'є) [7].

Основний зміст перетворення Фур'є в тім, що вихідна неперіодична функція довільної форми, яку неможливо описати аналітично й у загальному випадку важка для обробки й аналізу, представляється у вигляді сукупності синусів або косинусів з різною частотою й амплітудою. Іншими словами, складна функція перетвориться в множину більш простих. Кожна синусоїда (або косинусоїда) з певною частотою й амплітудою, отримана в результаті розкладання Фур'є, називається спектральною складовою або гармонікою. Спектральні складові створюють спектр Фур'є [5].

Візуально спектр Фур'є представляється у вигляді графіка, на якому по горизонтальній осі відкладається кругова частота, позначувана грецькою буквою "омега", а по вертикалі - амплітуда спектральних складових, звичайно позначувана латинською буквою A. Тоді кожна спектральна складова може бути представлена у вигляді відліку, положення якого по горизонталі відповідає її частоті, а висота - її амплітуді. Гармоніка з нульовою частотою називається постійною складовою (у тимчасовому поданні це пряма лінія).

Рис.1.1 Основні показники спектру функції [7]

Навіть простий візуальний аналіз спектра може багато сказати про характер функції, на основі якої він був отриманий. Інтуїтивно зрозуміло, що швидкі зміни вихідних даних породжують у спектрі складові з високою частотою, а повільні - з низкою. Тому якщо в ньому амплітуда складових швидко убуває зі збільшенням частоти, то вихідна функція (наприклад, часовий ряд) є плавною. І, навпаки, якщо в спектрі присутні високочастотні складові з великою амплітудою, то вихідна функція буде містити різкі коливання. Та

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать