Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений

Министерство науки и образования РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра экономической информатики

Курс: "Численные методы"

Пояснительная записка к курсовой работе на тему

"Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений"

Факультет: Бизнеса

Преподаватель: Сарычева О. М.

Новосибирск, 2010

Содержание

1. Введение

2. Математическая постановка задачи и описание метода

3. Описание программного обеспечения

3.1 Общие сведения

3.2 Функциональное назначение программы

3.3 Вызов и загрузка программы

3.4 Входные данные

3.5 Выходные данные

3.6 Описание алгоритмов

3.6.1 Программный модуль metod1.m

3.6.2 Программный модуль metod2.m

3.7 Используемые программные и технические средства

4. Описание тестовых задач

5. Анализ результатов счета, выводы

6. Заключение

Приложения

Список литературы

1. Введение

В данной курсовой работе необходимо рассмотреть один из множества существующих итерационных методов - метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Прежде чем говорить о вышеуказанном методе, дадим краткую характеристику вообще итерационным методам.

Итерационные методы дают возможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следующее, более точное приближение. Привлекательной чертой таких методов является их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Если в точных методах ошибка в вычислениях, когда она не компенсируется случайно другими ошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то в случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении исправляется в последующих вычислениях, и такое исправление требует, как правило, только нескольких лишних шагов единообразных вычислений. Итерационный метод, для того чтобы начать по нему вычисления, требует знания одного или нескольких начальных приближений к решению.

Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.

2. Математическая постановка задачи и описание метода

2.1 Математическая постановка задачи

Исследовать метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений, а именно: влияние способа перехода от системы F(x)=x к системе x=(x) на точность полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, число операций.

2.2 Описание метода

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в виде Ax=b (2.2.1).

Пусть (2.2.1.) приведена каким-либо образом к виду x=Cx+f (2.2.2), где C - некоторая матрица, f - вектор-столбец. Исходя из произвольного вектора

x0 ₁

x( 0 ) = x0 ₂

x0 ₃

строим итерационный процесс x( k +1 ) =Cx( k ) +f(k=0,1,2,3,…) или в развернутой форме

x₁ ( k+1 ) = c₁₁ x₁ ( k ) + c₁₂ x₂ ( k ) + …+ c_1n x_n ( k ) + f₁ ,(2.2.3)

x_n ( k+1 ) = c_n1 x₁ ( k ) + c_n2 x₂ ( k ) + …+ _1nn x_n ( k ) + f_{n .}

Производя итерации, получим последовательность векторов x( 1 ) , x( 2) ,…, x( k ) ,… Доказано, что если элементы матрицы C удовлетворяют одному из условий

(i=1,2,…,n) (2.2.4)

(j=1,2,…,n) (2.2.5),

то процесс итерации сходится к точному решению системы x при любом начальном векторе x(0) , то есть

x=x( k ) .

Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x( k ) из полученной последовательности является приближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x( k ) дается одной из следующих формул:

| x_i - x_i ( k ) | | x_i ( k ) - x_i ( k -1 ) |, (2.2.4')

если выполнено условие (2.2.4), или

| x_i - x_i ( k ) | | x_i ( k ) - x_i ( k -1 ) |, (2.2.5')

если выполнено условие (2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:

max | x_i - x_i ( k ) | | x_i ( k ) - x_i ( k