Вычисление интегралов методом Монте-Карло

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО

Выполнил:

Руководитель:

Саратов, 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

1.3 Сплайн – интерполяция 8

1.4 Алгоритм расчета интеграла

2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.

2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел

2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание:

Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло.

Цель:

1) Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло.

2) Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.

3) Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.

Продукт:

1) Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .

2) Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.

3) Обзор использованной литературы.

Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть .

Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле:

. (1)

Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.

Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.

1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

Рассмотрим n – мерный интеграл

для . (2)

Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества имеет n координат: .

Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : .

Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый n – мерный параллелепипед , следующим образом:

,

где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : .

Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат :

(3)

Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде

. (4)

Область интегрирования представляет собой n – мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.

Обозначим через n -мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где .

Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом

(5)

Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве :

. (6)

Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему паралл

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать