Використання елементарних перетворень для знаходження оберненої матриці

Міністерство освіти і науки України

Факультет інформатики

Курсова робота

Тема:

“Використання елементарних перетворень

для знахожження оберненої матриці ”

Виконав студент ІІ-го курсу

Факультету інформатики

Заочної форми навчання

Науковий керівник:

Ужгород 2009

Зміст

Зміст. 2

Вступ. 3

1. Теория. 4

2. Опис програми. 8

3. Програма. 10

Висновок. 45

Список використаної літератри. 46

Вступ

Квадратна матриця називається виродженою (для особливої), якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою (чи неособливої) - у протилежному випадку. Відповідно лінійне перетворення невідомих називається виродженим чи невиродженим у залежності від того, чи буде дорівнює чи нулю відмінний від нуля визначник з коефіцієнтів цього приобразования. З теореми випливає наступне твердження:

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Добуток будь-яких невироджених матриць саме буде невирожденою матрицею. Звідси випливає, через зв'язок, що існує між множенням матриць і послідовним виконанням лінійних перетворень, таке твердження: результат послідовного виконання декількох лінійних перетворень тоді і тільки тоді буде невиродженим перетворенням, якщо всі задані перетворення невироджені.

1. Теория

Квадратна матриця називається виродженою (для особливої), якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою (чи неособливої) - у протилежному випадку. Відповідно лінійне перетворення невідомих називається виродженим чи невиродженим у залежності від того, чи буде дорівнює чи нулю відмінний від нуля визначник з коефіцієнтів цього приобразования. З теореми випливає наступне твердження:

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Добуток будь-яких невироджених матриць саме буде невирожденою матрицею. Звідси випливає, через зв'язок, що існує між множенням матриць і послідовним виконанням лінійних перетворень, таке твердження: результат послідовного виконання декількох лінійних перетворень тоді і тільки тоді буде невиродженим перетворенням, якщо всі задані перетворення невироджені.

Роль одиниці у множенні матриць грає одинична матриця

причому вона перестановочна з будь-якою матрицею А даним порядком

АЕ=ЕА=А (1)

Доводяться ці чи рівності безпосереднім приминением правилаумножения матриць, чи ж на підставі зауваження, що еденичная матриця відповідає тотожному лінійний приобразованию невідомих

x1=y1

x2= y2

... ... ... .

xn= yn

Виконання якого до чи після будь-якого іншого лінійного переутворення, очевидно не змінює цього останнього.

Помітимо, що матриця Е є єдиною матрицею, що задовольняє умові (1) при будь-якій матриці А. Дійсно, якби існувала матриця Е' з цією же властивістю, то ми мали б

E’E=E’, E’E=E,

звідки E’=E.

Питання про існування для даної матирцы А зворотної матриці виявляється болеее складним. Через некомутативности множення матриць ми будемо говорити зараз про праву зворотну матрицю, тоесть про таку зворотну матрицю А-1

Що добуток матриці А праворуч на цю матрицю дає еденичную матрицю,

AA-1=E (2)

Якщо матриця А вырожденная, то, якби матриця А-1 існувала, добуток, що коштує в лівій частині рівності (2), було б, як ми знаємо, вырожденной матрицею, у той час як насправді матриця Е, що коштує в правій частині цієї рівності, є невырожденной, тому що його визначник дорівнює еденице. Таким чином, вырожденная матриця не може мати правої зворотної матриці. Такого ж розуміння показують, сто вона не має і лівої зворотний і тому для вырожденной матриці обратеая матриця воопше не існує.

Переходячи до випадку невырожденной матриці, уведемо спочатку наступне допоміжне поняття. Нехай дана матриця n-го порядку

a11 a12... a1n

a21 a22... a2n

А=... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Матриця

a11 a12... a1n

A*= a21 a22... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Складання з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А, причому алгебраїчне доповнення до елементу aіj коштує на перетинанні j-й рядка й і-го стовпця, називається приєднаної (чи взаємної) до матриці А.

Знайдемо добуток АА* і А*А. Використовуючи відому формулу розкладання визначника по чи рядку стовпцю, а також теорему про суму добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка (стовпця), і позначаючи через d визначник матриці А,

d=|A|,

ми одержимо наступні рівності:

d 0...0

0 d...0

АА*=А*А=... ... ... . . (3)

0 0... d

Звідси випливає, що якщо матриця А невырожденная, те її присоедененная матриця А* також буде невырожденной, причому визначник d* матриці А* дорівнює (n-1) - й ступеня визначника d матриці А.

Справді, переходячи від рівностей (3) до рівності між визначниками, ми одержимо

dd*= dn,

звідки d≠0

d*= dn-1

Тепер можна довести існування зворотної матриці для всякої не виродженої матриці А и знайти її вид. Помітимо спочатку, що якщо ми розглянемо добуток двох матриць АВ і всі елементи одногоиз множників, наприклад У, розділимо на те са

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать