Теорема Дирихле

Содержание

Введение. 2

1. Характеры.. 3

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров. 3

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности. 6

1.3 Характеры Дирихле. 8

2. L-функция Дирихле. 13

3. Доказательство теоремы Дирихле. 29

Введение

Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.

Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Пусть

mn + l , n = 1,2, …,

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m , l )=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d =(m , l )>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m , использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)¹0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.

1. Характеры

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров

Характером (от греческого хараæτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АÎG и BÎG

χ (АВ)= χ (А) χ(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для АÎG

Характеры группы G обладают следующими свойствами :

1 . Если Е-единица группы, то для каждого характера χ

χ (Е)=1 (1.1)

Доказательство . Пусть для каждого элемента АÎG справедливо неравенство

c₁ (А)=c(АЕ)= c(А) χ (Е)

Из этого равенства получим, что c (Е)¹0. Теперь из равенства

c (Е)= c (ЕЕ)= c (Е) c (Е)=1

следует равенство (1.1)

2 . c (А) ¹0 для каждого АÎG

Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АÎG , то

c (А) χ (А-1 )= c (АА-1 )= χ (Е)=0,

а это противоречит свойству 1.

3 . Если группа G имеет порядок h, то Аh =Е для каждого элемента АÎG Следовательно,

1= χ (Е)= χ (Аh )= χ (А)h ,

то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер χ_1, обладающий свойством χ₁ (А)=1 для каждого элемента АÎG, называется главным характером группы G . Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G , причем G / H – циклическая порядка n , тогда для каждого характера χ_H – подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство . Рассмотрим группу G = gk H , причем gn H=H, gn ÎH и gn =h₁ =1.

Для каждого элемента XÎG существует и притом единственное к=к_х и h_х =h такое, что если 0£ к_х <n, то X= gk х h_х =gk h. Возьмем еще один элемент группы G , Y= gm h_y , где 0£m<n. Перемножим эти два элемента

ХY= gк+ m hh_y .

Определим характер χ (X).

χ (X)= χ (gк h)= χ (gк ) χ (n)= χ к (g) χ_H (h).

В данном выражении неизвестным является χ (g).

χn (g)= χ (gn )= χ (h₁ )= χ_H (h₁ ) – данное число.

χ ( g )= – n корней из 1,

то есть ξ_ј n =χn (g)= χ_H (h₁ ), получаем xk (g)= ξ_ј n . Следовательно, x(g)= ξ