Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

Вступ

Прості математичні задачі малої вимірності, що вивчаються в курсі вищої математики, допускають можливість отримання аналітичних рішень. Складні математичні моделі великої розмірності вимагають застосування чисельних методів.

Чисельні методи — це математичний інструментарій, за допомогою якого математична задача формулюється у вигляді, зручному для розв’язання на комп’ютері. У такому разі говорять про перетворення математичної задачі в обчислювальну задачу. При цьому послідовність виконання необхідних арифметичних і логічних операцій визначається алгоритмом її розв’язання. Алгоритм повинен бути рекурсивним і складатися з відносно невеликих блоків, які багаторазово виконуються для різних вхідних даних.

Слід зазначити, що з появою швидких та потужних цифрових комп’ютерів роль чисельних методів для розв’язання наукових та інженерних задач значно зросла. І хоча аналітичні методи розв’язання математичних задач, як і раніше, дуже важливі, чисельні методи суттєво розширюють можливості розв’язання наукових та інженерних задач, не дивлячись на те, що самі рівняння математичних моделей з ускладненням структури сучасних виробів стають погано обумовленими та жорсткими, що істотно ускладнює їх розв’язування. Узявши виконання рутинних обчислень на себе, комп’ютери звільняють час вченого або інженера для творчості: формулювання задач і генерування гіпотез, аналізу та інтерпретації результатів розрахунку тощо.

Чисельні методи забезпечують системний формалізований підхід до розв’язання математичних задач. Проте за умов їх ефективного використання окрім уміння присутня і деяка частка мистецтва, що залежить від здібностей користувача, оскільки для розв’язання кожної математичної задачі існує декілька можливих чисельних методів і їх програмних реалізацій для різних типів комп’ютерів. На жаль, для обрання ефективного способу розв’язання поставленої задачі лише інтуїції замало, потрібні глибокі знання і певні навички. Існує декілька переконливих причин, що мотивують необхідність глибокого вивчення чисельних методів майбутніми фахівцями у галузі комп’ютерно-системної інженерії та прикладної математики.

Чисельні методи є надзвичайно потужним інструментарієм для розв’язання проблемних задач, що описуються довільними нелінійними диференціально-алгебраїчними рівняннями великої розмірності, для яких в даний час не існує аналітичних рішень. Освоївши такі методи, майбутній фахівець набуває здібностей до системного аналізу через математичне моделювання найскладніших задач сучасної науки і техніки.

У своїй майбутній професійній діяльності такий фахівець у першу чергу орієнтуватиметься на використання пакетів сучасних обчислювальних програм, причому те, наскільки правильно він буде їх застосовувати, безпосередньо залежатиме від знання і розуміння ним особливостей і обмежень, властивих чисельним методам, що реалізовані в пакеті. Може трапитися, що одна й та сама математична задача за допомогою певного програмно-технічного комплексу буде одним фахівцем успішно розв’язана, а іншим — ні, оскільки в сучасних пакетах передбачено їх налагоджування під конкретну задачу.

Може з’ясуватися, що низку задач неможливо розв’язати з використанням наявних пакетів програм. Якщо майбутній фахівець знає чисельні методи і володіє навичками програмування, він буде в змозі самостійно провести розробку необхідного алгоритму і програмно його реалізувати, вбудувавши в обчислювальний комплекс.

Вивчення чисельних методів стимулює освоєння самих комп’ютерів, оскільки найкращим способом навчитися програмувати є написання комп’ютерних програм власноруч. Правильно застосувавши чисельні методи, майбутній фахівець зможе пересвідчитися у тому, що комп’ютери успішно розв’язують його професійні задачі. При цьому він сам відчує вплив похибок обчислень на результат і навчиться контролювати ці похибки.

Вивчення чисельних методів сприяє також переосмисленню і більш глибокому розумінню математики в цілому, оскільки однією із задач чисельних методів є зведення методів вищої математики до виконання простих арифметичних операцій.

Хоча існує безліч чисельних методів, усі вони (як і алгоритми, що їм відповідають) мають багато спільних властивостей і характеристик. Чисельні методи:

 передбачають проведення великої кількості рутинних арифметичних обчислень за допомогою рекурсивних співвідношень, що використовуються для організації ітерацій, тобто повторюваних циклів обчислень зі зміненими початковими умовами для поліпшення результату;

 направлені на локальне спрощення задачі, коли, наприклад, використовувані нелінійні залежності лінеаризуються за допомогою своїх обчислених похідних або похідні замінюються різницевими апроксимаціями;

 значно залежать від близкості початкового наближення (або декількох наближень), необхідного для початку обчислень до розв’язку, від властивостей нелінійних функцій, які використовуються в математичних моделях, що накладає обмеження (для забезпечення єдиного розв’язку) на їх диференційованість, на швидкість зміни функцій та ін.;

Чисельні методи характеризуються:

 різною швидкістюзбіжності, тобто числом ітерацій, виконання яких необхідне для отримання заданої точності розв’язку;

 різною стійкістю, тобто збереженням достовірності розв’язку під час подальших ітерацій;

 різною точністю отримуваного розв’язку в разі виконання однакового числа ітерацій або циклів