Возвратные последовательности

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический университет

имени Максима Танка»

Математический факультет

Кафедра алгебры и аналитической геометрии

Курсовая работа

Возвратные последовательности

Выполнила студентка 4 курса

математического факультета, гр. 405

Волисова Елена Валерьевна

Руководитель:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Баркович Оксана Аркадьевна

Минск 2009

Содержание

Введение

Глава 1 (теоретическая часть)

§ 1. Определение возвратной последовательности

§ 2. Обобщение произвольных возвратных последовательностей

§ 3. Изучение и применение возвратных последовательностей в курсе средней школы

§ 4. Формулы вычисления любого члена возвратной последовательности. Базис возвратного уравнения

§ 5. Характеристическое уравнение для возвратного уравнения

§ 6. Возвратные задачи

Глава 2 (практическая часть)

Заключение

Список литературы

Введение

Понятие возвратной последовательности является широким обобщением понятия арифметической и геометрической прогрессии. Как частные случаи оно охватывает также последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, последовательности цифр десятичного разложения рационального числа (и вообще любые периодические последовательности), последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням x, и т.д. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей .

Тема «Возвратные последовательности» не является изолированной, нигде не используемой теорией. Наоборот, возвратные последовательности близки к школьному курсу математики, используются в высшей алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах.

Таким образом, возвратные последовательности являются настоящей маленькой теорией, законченной, простой, ясной.

Целью данной курсовой работы является изучение теории возвратных последовательностей и возможное применение её части на факультативах в школьном курсе математики.

В данной курсовой работе также рассмотрены возвратные задачи. В основе решения возвратных задач лежит идея возвратности (или рекуррентности), согласно которой решение всей задачи зависит от решения той же самой задачи меньших размеров.

Глава 1 (теоретическая часть)

§1. Определение возвратной последовательности

Будем записывать последовательности в виде

u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_n , . . . , (1)

или, коротко, {u_n }. Если существует натуральное число k и числа a₁ , a₂ , … , a_k (действительные или мнимые), такие, что, начиная с некоторого номера n и для всех следующих номеров,

u_{n + k} == a₁ u_{n +k – 1} + a₂ u_{n + k – 2} + … + a_k u_n (nm1), (2)

то последовательность (1) называется возвратной последовательностью порядка k , а соотношение (2) – возвратным уравнением порядка k .

Таким образом, возвратная последовательность характеризуется тем, что каждый её член (начиная с некоторого из них) выражается через одно и то же количество k непосредственно предшествующих ему членов по формуле (2).

Само название «возвратная» (а также рекуррентная, от французского recurrente – возвращающаяся к началу) употребляется именно потому, что здесь для вычисления последующего члена возвращаются к предшествующим членам.

Пример 1. Геометрическая прогрессия. Пусть имеем геометрическую прогрессию:

u₁ = a, u₂ = aq, u₃ = aq2 , . . . , u_n = aqn – 1 , . . . , (3)

для неё уравнение (2) принимает вид:

u_{n + 1} = qu_{n .} (4)

Здесь k = 1 и a₁ = q. Таким образом, геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью первого порядка.

Пример 2. Арифметическая прогрессия. В случае арифметической прогрессии

u₁ = a, u₂ = a + d, u₃ = a + 2d, . . . , u_n = a + (n - 1)d , . . . ,

имеем: u_{n + 1} = u_n + d

- соотношение, не имеющее вида уравнения (2). Но если рассмотреть два соотношения, написанные для двух соседних значений n:

u_{n + 2} = u_{n + 1} + d и u_{n + 1} = u_n + d,

то получим из них, путём почленного вычитания:

u_{n + 2} - u_{n + 1} = u_{n + 1} - u_n ,

или u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_n (5)

- уравнение вида (2). Здесь k = 2, a₁ = 2, a₂ = -1. Следовательно, арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка.

Пример 3. Рассмотрим старинную задачу Фибоначчи о числе кроликов. В ней требуется определить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной пары в течение года, если известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячн

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать