Математичний більярд

Обрана мною тема курсової роботи – математичні більярди – є дуже цікавою і актуальною . В умовах розвитку комп’ютерних технологій, створень математичних пакетів для вирішення багатьох задач з різних галузей математики постає проблема пошуку найбільш оптимальних шляхів розв’язання. Не останню роль в вирішенні цієї проблеми грає вивчення теорії математичних більярдів. Тому розгляд цього питання, встановлення зв’язків основ цієї теорії з рішеннями проблем інформатики, фізики є достатньо важливим компонентом навчального курсу «Вища математика». Крім цього, деякі відомості доречно було б вивчати в середній школі для розв’язання задач підвищеної складності, при підготовці учнів до математичних олімпіад, на факультативах з математики та в класах з поглибленим вивченням математики.

Вивчення математичних більярдів, як системи руху абсолютно пружного тіла (без врахування опору середовища), послужило основою концепції детермінованого хаосу. До систем, відповідаючім більярдам, зводяться ряд задач статистичної фізики. Багато складних для аналітичного розв’язання математичних задач легко розв’язуються за допомогою побудови траєкторій більярдів в прямокутній та опуклій області. Чітко простежується зв’язок такої науки, як оптики з проблемами побудови траєкторій математичних більярдів в еліпсі та ін.

Все це свідчить про необхідність подальшого розгляду цієї теми, використання для вирішення питань теорії більярдів сучасних комп’ютерних програм. Тому метою моєї роботи було вивчення основних теоретичних відомостей вищезазначеної теми, аналіз можливостей застосування законів теорії в середніх навчальних закладах та використання комп’ютерних програм для оптимізації роботи з пошуку рішення проблемних питань, для наочної демонстрації правил побудови більярдних траєкторій та розширення сфери застосування теорії математичних більярдів. Для цього були вивчені роботи відомих математиків, що займались цією проблемою, проведена спільна з викладачами вищої математики та інформатики ХНПУ ім. Г.С. Сковороди дослідницька робота. В результаті проведеної роботи були отримані наступні висновки, що представлені в двох розділах даної курсової роботи.

Відомості з теорії математичних більярдів

Об’єкт та історія вивчення теорії

Назва більярд походить від французького «billiard» - крива палка або «billart» (кий) та «bille» (куля).

Подібно до того, як азартна гра у кості викликала до життя «обчислення» вірогідності, гра в більярд стала предметом серйозних наукових досліджень з механіки та математики. Опису руху більярдної кулі присвячена книга видатного французького фізика Г.Г. Коріоліса, створена ним в 1835 році. Окремі відомості цієї праці будуть наведені в подальших розділах даної курсової роботи.

Відомі різні варіанти гри на більярді. Наприклад, так званий французькій більярд взагалі не має луз. При грі в цей більярд треба попасти в задану кулю після декількох зіткнень з іншими кулями. Французький більярд і став прообразом математичного більярда.

Об’єктом вивчення в математичних більярдах є траєкторія, тобто слід рухомої більярдної одиниці. В загальному випадку ця ламана, що вписана в область Q і складена з нескінченної кількості ланок, на яких вказано напрям руху. Ця ламана може бути однозначно побудована по будь-якій своїй ланці. В окремому випадку, коли більярдна частка вертається в вихідне положення (і після цього знов розпочинає свій рух), ламана замкнена і складається з скінченої кількості ланок. Така траєкторія називається періодичною. Основна ціль теорії математичних більярдів – опис всіляких типів траєкторій в різних областях.

Більярди призводять до багатьох цікавих і красивих математичних задач. О декількох з них розповідається в другій частині даної роботи.

Ці задачі бувають далеко не простими і приховують в собі багато невирішених проблем. Наприклад, досі невідомо, чи в будь-якій області існує періодична більярдна траєкторія (це невідомо навіть для многокутників). Іще один приклад пов'язаний з проблемою висвітлення довільної області з дзеркальними стінками точковим джерелом світла: з деякої точки q € Q випустимо різноманітні промені світла, що дзеркально відбиваються від границі ∂Q; чи освітлять вони (після можливих відбиттів) всю область Q? Відповідь невідома, якщо Q – многокутник. Для плоских областей загального вигляду відповідь негативна.

Окрім використання в чисто математичних задачах, більярди цікаві тим, що моделюють досі складні фізичні процеси. Традиційно більярди використовуються в оптиці (дзеркальне відбиття, задачі про освітлення, фокусіровка променів в лазері) та акустиці (побудова «шепочущіх галерей»), оскільки променям світла та звуковими хвилям притаманні пружні (дзеркальні) відбиття від непроникних поверхонь.

До більярдів можуть бути зведені деякі важливі моделі класичної механіки і гідродинаміки – гази і рідини, що складені з молекул, пружно стикаються один з одним та з стінками ємкості (системи твердих куль). Тут закон пружного зіткнення покладено в самій моделі, зостається лише уявити (закодувати) рух багатьох молекул траєкторією однієї більярдної частки. Багато проблем класичної механіки твердих куль можуть бути сформульовані і вирішені в термінах більярдів. Наприклад, так було розв’язане питання про можливу кількість зіткнень в системі з нескінченної кількості твердих куль у відкритому просторі (без стінок).

Більярдні траєкторії виникают