ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.А. Шолохова
Факультет информатики и математики
Кафедра высшей математики
Курсовая работа по теме:
«Элементы векторного анализа»
Выполнила:
студентка IV курса группы ФИМ-М-1402
очного отделения
специальность «математика»
Шакурова Н.Н.
Проверила:
доцент Дорошкевич О.А.
Москва 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы
§1. Криволинейный интеграл I рода
§2. Криволинейный интеграл II рода
§3. Поверхностный интеграл I рода
§4. Поверхностный интеграл II рода
§5. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса
Глава II. Теория поля
§1. Основные понятия теории поля
§2. Скалярное поле
Производная скалярного поля по направлению
Градиент скалярного поля
§3. Векторное поле и его циркуляция
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме
Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме
§4. Специальные векторные поля
§5. Оператор Лапласа. Гармонические функции
Глава III. Практическая часть.
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Для описания физической реальности математикам стало не доставать основных типов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные, …). Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор – абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического ил магнитного поля.
Сам термин «вектор» (от лат. vector – несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. В работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».
После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа . Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь») и «лапласиан».
Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. Опубликовал обширный учебник по векторному анализу.
Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов (это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве). Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана. Он был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.
Понятие вектора может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор» можно считать понятие «тензор».
Тензорное исчисление — раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление разделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Тензорное исчисление является важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии. В этой связи оно впервые систематически было развито Дж.Риччи и Т.Леви-Чивитой, его часто называли «исчислением Риччи».
Термин «тензор» еще с середины XIXв. употребляется в механике при описании упругих деформаций тел. С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически используется в релятивистской физике.
Изучение векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных понятий векторного анализа.
Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные векторные и тензорные поля. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.
Следовательно, мы можем выделить основную цель нашей работы: рассмотрение важнейших операций векторного анализа — градиента, ротора, циркуляции и дивергенции, а также наиболее важных теорем векторного анализа — формулы Грина, теоремы Стокса, формулы Остроградского-Гаусса.
Ученые, занимавшиеся исследованием векторного анализа:
ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (Hamilton William Rowan)
Гамильтон Уильям Роуан (04.08.1805-02.09.1865)-ирландский математик, член Ирландской Академии Наук. Родился в Дублине. К 17
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов.