Інтерполювання функцій

З міст

Вступ Розділ I Інтерполювання функцій 1.1 Постановка задачі 1.2 Інтерполяційні формули Ньютона 1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона 1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона 1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона 1.3 Інтерполяційні формули Гауса 1.4 Інтерполяційна формула Бесселя 1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга 1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул 1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів 1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул 1.8.1 Приклад 1 1.8.2 Приклад 2 1.9 Програмна реалізація 1.9.1 Призначення програми 1.9.2 Основні процедури 1.9.3 Інструкція по використанню програми 1.9.4 Перевірка працездатності програми Розділ ІІ Література Додатки

Вступ

У зв’язку з розвитком обчислювальної техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними задачами, точний розв’язок яких отримати достатньо важко. В таких випадках зазвичай звертаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу отримали за останні роки широкий розвиток і набули виключно важливого значення.

Чисельне розв’язання прикладних задач завжди цікавило математиків. Аналіз ускладнених моделей вимагав створення спеціальних, як правило, чисельних або асимптотичних методів розв’язання завдань. Назви деяких з таких методів - методи Ньютона, Ейлера, Лобачевського, Гауса, Чебишева, Ерміта, Крилова - свідчать про те, що їх розробкою займалися найвидатніші вчені свого часу.

Чисельні методи є одним з могутніх математичних засобів розв’язання задач. Прості чисельні методи ми використовуємо скрізь, наприклад, при знаходженні квадратного кореня на листку паперу. Є завдання, де без достатньо складних чисельних методів не вдалося б отримати відповіді. Класичний приклад — відкриття Нептуна по аномаліях руху Урану.

Загалом у курсах чисельних методів вивчаються питання побудови, застосування і теоретичного обґрунтування алгоритмів наближеного розв’язання різних класів математичних задач. У наш час більшість обчислювальних алгоритмів орієнтовано на використання швидкодіючих ЕОМ, що значно впливає на підбір учбового матеріалу й на характер його викладу. Тільки обчислювальній машині під силу виконувати за короткий час об'єм обчислень в мільярди, трильйони і більше операції, які необхідні для вирішення багатьох сучасних завдань.

Варто відмітити деякі особливості предмету чисельних методів. По-перше, для чисельних методів характерна множинність, тобто можливість розв’язати одну й ту саму задачу різними методами. По-друге, природничонаукові задачі і швидкий розвиток обчислювальної техніки змушують переоцінювати значення існуючих алгоритмів і призводять до створення нових. По-третє, чисельні методи разом із можливістю отримання результату за прийнятний час не повинні вносити у обчислювальний процес значних похибок.

У даній курсовій роботі розглядається задача про інтерполяцію функції. Якщо задана функція y(x), то це означає, що будь-якому допустимому значенню х ставиться у відповідність значення у. Однак, нерідко виявляється, що знаходження цього значення дуже трудомістке. Наприклад, у(х) може бути визначене як розв’язок складної задачі, в якій х виконує роль параметра, або у(х) вимірюється в дорогому експерименті. При цьому можна обчислити невелику таблицю значень функції, але пряме знаходження функції при великому числі значень аргументу буде практично неможливо.

Функція у(х) може брати участь у будь-яких фізико-технічних або чисто математичних розрахунках, де її доводиться багато разів обчислювати. У цьому випадку вигідно замінити функцію у (х) наближеною відомою функцією, тобто підібрати деяку функцію f(x), яка близька у певному сенсі до у(х) і легко обчислюється. Потім при всіх значеннях аргументу вважають, що .

Більша частина класичного чисельного аналізу ґрунтується на наближенні многочленами, оскільки з ними легко працювати. Однак для багатьох цілей використовують і інші класи функцій (див. [2]).

Вибравши вузлові точки і клас функцій, що наближають, ми повинні також вибрати одну певну функцію з цього класу за допомогою деякого критерію - міри наближення або «згоди». Перш, ніж почати обчислення, ми повинні вирішити також, яку точність ми хочемо мати у відповіді і який критерій ми оберемо для вимірювання цієї точності.

Все викладене можна сформулювати у вигляді чотирьох питань:

1. Які вузли ми будемо використовувати?

2. Який клас функцій для наближення будемо використовувати?

3. Який критерій згоди ми застосуємо?

4. Яку точність ми хочемо?

Існує 3 класи або групи функцій, широко застосовуваних у чисельному аналізі. Перша група включає в себе лінійні комбінації функцій 1, х, х2, ..., хn, що збігається з класом усіх многочленів степені n (або менше). Другий клас утворюють функції cosaix, sinaix. Цей клас має відношення до рядів Фур'є та інтегралу Фур'є. Третя група утворюється функціями e-az. Ці функції зустрічаються в реальних ситуаціях. До них, наприклад, призводять задачі накопичення і розпаду.

Що стосується критерію згоди, то класичним критерієм згоди є «точний збіг у вузлових точках». Цей критерій має перевагу завдяки простоті теорії та виконанню обчислень, але також незручність через ігнорування похибки (шуму), що виникає при вимірюванні або обчисленні значень у вузлових точках. Інший відносно хороший кри

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать