Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора

КУРСОВА РОБОТА

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"

Запоріжжя 2010

1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

Нехай і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .

Оператор називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1. (властивість адитивності);

2. (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь – якого вектора простору

.

Під добутком лінійного оператора на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора простору

Неважко переконатися в тому, що оператори і лінійні.

Оператор називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору .

Щоб переконатися, що оператор лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор – називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.

Введені на множині лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1.,

2. ,

3. існує один лінійний оператор такий, що для будь – якого лінійного оператора із

4. для кожного оператора існує єдиний оператор – такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

2. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай та – два будь-яких лінійних оператора з , а – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор простору у вектор , називається добутком операторів та і позначається так: . За означенням добутку операторів і для будь-якого вектору . Легко перевірити, що , , де – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості

1) , 3) ,

2) , 4) .

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай – довільний вектор простору . Для довільного вектору простору за означенням добутку і суми операторів має

Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор – єдиний.

Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як – лінійний оператор, то для будь-якого . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай і . Так як оператор має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого , невірно, тому для будь – якого .

Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора та перетворює у два різні вектори і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному і , для яких , тоді для таких і або, що те саме . За умовою оператор має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різни

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать