Представления конечных групп

Курсовая работа

"Представления конечных групп"

Содержание

Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

1.1 Представления групп 1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп 1.3 Лемма Шура 1.4 Соотношения ортогональности для характеров 1.5 Индуцированные представления 1.6 Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников

Основные обозначения

– группа

– порядок группы

– единичный элемент группы

– единичная подгруппа, единичная группа

– множество всех простых делителей натурального числа

– множество всех простых делителей порядка группы

– центр группы

– подгруппа Фиттинга группы

– подгруппа Фраттини группы

– коммутант группы

– централизатор подгруппы в группе

– нормализатор подгруппы в группе

– группа всех автоморфизмов группы

– группа всех внутренних автоморфизмов группы

- является подгруппой группы

– является собственной подгруппой группы

– является максимальной подгруппой группы

– является нормальной подгруппой

– является субнормальной подгруппой группы

– является минимальной нормальной подгруппой группы

– индекс подгруппы в группе

– прямое произведение подгрупп и

– полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы

Введение

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой . Если – конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой , а число элементов в – порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой , если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .

Централизатор . Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .

Лемма

1. Если – подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если и – подмножество группы и , то

3. Если – подмножество группы и , то

Центр группы . Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть – элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок .

Нормализатор . Если – непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Лемма. Пусть – непустое подмножество группы , – произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если – подгруппа группы , то

Подгруппа называется <

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать