Теория сравнений

Введение

Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы – изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: сравнения первой степени с одной и несколькими переменными, сравнения высших степеней и т.д.

Основная часть курсовой работы состоит из трех глав. В первой главе раскрываются основные понятия теории сравнений, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений. Во второй главе рассматриваются сравнения первой степени с одной переменной. Далее рассматриваются сравнения высших степеней и системы сравнений первой степени. В приложении приводятся примеры решения текстовых задач, которые сводятся к неопределенным уравнениям первого порядка и решаются с помощью сравнений.

Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями.

В работе приводится список литературы по теме.

1. Теория сравнений

1.1 Сравнения в кольце целых чисел

Понятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений.

Возьмем произвольное фиксированное натуральное число и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и произведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю.

Определение . Целые числа и называются сравнимыми по модулю , если разность делится на , т.е. если .

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами и , причем , играющее роль своего рода эталона сравнения, мы называем «модулем». Для краткости будем это соотношение между и записывать:

,

и будем называть соответственно левой и правой частями сравнения. Число , стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, т.е. запись будет означать, что .

Если разность не делится на , то мы будем записывать:

.

Согласно определению, означает, что делится на .

Примеры .

1. так как и делится на .

2. , так как и делится на .

3. , так как и делится на .

1.2 Основные теоремы о сравнениях

Теорема 1 (признак сравнимости двух чисел по модулю ). Два целых числа и сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда и имеют одинаковые остатки при делении на .

Доказательство . Пусть остатки при делении и на равны, т.е.

(1.1)

(1.2)

где

Вычтем (1.2) из (1.1); получим т.е. или

Обратно, пусть это означает, что или

(1.3)

Разделим на ; получим Подставив в (1.3), будем иметь т.е. при делении на получается тот же остаток, что и при делении на .

Пример 1 . Определим, сравнимы ли числа и по модулю .

Решение. При делении и на получаются одинаковые остатки Следовательно,

Определение . Два или несколько чисел, дающие при делении на одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю .

Теорема 2 . Отношение сравнимости рефлексивно: .

Доказательство . и имеют одинаковые остатки при делении на .

Теорема 3 . Отношение сравнимости симметрично: если , то .

Доказательство . Если и имеют одинаковые остатки при делении на , то остатки от деления и на также равны.

Теорема 4 . Отношение сравнимости транзитивно: если

то .

Доказательство . Если остатки от деления на одинаковы у чисел и , а также у и , то и тоже имеют одинаковые остатки при делении на .

Таким образом, отношение сравнимости есть отношение эквивалентности.

Теорема 5 . Если и произвольное целое число, то

.

Доказательство . Если , то , , , .

Теорема 6 . Если и 1 , то .

Доказательство . Если , то | , | , но тогда условие дает | , т.е. .

Теорема 7 . Если и произвольное натуральное число, то .

Доказательство . Если , то | ,| ,.

Теорема 8 . Если , где и произвольные натуральные числа, то.

Доказательство . Если , то | , | ,

натуральное (, тогда | , .

Теорема 9 . Если , , то и .

Доказательство . Если и , то и . Получим, что

Теорема 9' . Если , то .

Теорема 10 . Если и , то .

Доказательство . Если и , то и . Тогда по транзитивности сравнений получим, что .

Теорема 10' . Если , то

.

Доказательство . Последовательно применяя теорему 7, получим:

.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать