Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях

Введение

Реальные конфликтные ситуации приводят к различным видам игр. Игры различаются по целому ряду признаков: по количеству участвующих в них игроков, по количеству возможных игроков, по количеству возможных стратегий, по характеру взаимоотношений между игроками, по характеру выигрышей, по виду функций выигрышей, по количеству ходов, по характеру информационной обеспеченности игроков и т.д. Рассмотрим виды игр в зависимости от их разбиения:

· По количеству стратегий игры делятся на конечные (каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий) и бесконечные (где хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий).

· По характеру выигрышей различают игры с нулевой суммой (общий капитал игроков не изменяется, а перераспределяется между игроками в зависимости от получающихся исходов) и игры с ненулевой суммой .

· По виду функций выигрыши игры делятся на матричные ( это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока А в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока В , столбец – номеру применяемой стратегии игрока В ; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока А , соответствующий применяемым стратегиям.

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования), биматричные игры (это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока А , столбец – стратегии игрока В , на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока А , во второй матрице – выигрыш игрока В .

Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные непрерывные игры (Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения), и т.д.

Возможны также и другие подходы к разбиению игр. Теперь вернёмся непосредственно к теме исследования, а именно к Теории игр. Для начала дадим определение этому понятию.

Теория игр - раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, наделённыеразличными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами.В условиях конфликта стремление противника скрыть свои предстоящие действия порождает неопределённость. Наоборот, неопределённость при принятии решений (например, на основе недостаточных данных) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой. Поэтому теория игр рассматривается также, как теория принятия оптимальных решений в условиях неопределённости. Она позволяет систематизировать некоторые важные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии и других науках. Участвующие в конфликте стороны называются коалициями действия; доступные для них действия - их стратегиями; возможные исходы конфликта – ситуациями.

Задача теории состоит в том, что является:

1) оптимальным поведением в игре.

2) исследование свойств оптимального поведения

3) определение условий, при которых его использование осмысленно (вопросы существования, единственности, а для динамических игр и вопросы именной состоятельности).

4) построение численных методов нахождения оптимального поведения.

Теория игр, созданная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целомсводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах теория игр широко используются весьма разнообразные классические математические методы.

Кроме этого, теория игр связана с рядом математических дисциплин внутренним образом. В теории игр систематически и по существуупотребляются понятия теории вероятностей. На языке теории игр можно сформулировать большинство задач математической статистики, и так как теория игр, связана с теорией принятия решений, то она рассматривается как существенная составная часть математического аппарата исследования операций.Пример решения матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим пример решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий за рынок продукции региона.

Задача

Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные