Обработка опытных данных методом МНК

Содержание

1 Постановка задачи и исходные данные. 2

2 .Аппроксимация функций. 2

3. Подбор эмпирических формул. 2

3.1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия). 2

3.2. Показательная зависимость. 2

3.3. Логарифмическая функция. 2

4. Метод наименьших квадратов. 2

5. БЛОК-СХЕМА для МНК.. 2

6 .Решение задачи в MathCAD.. 2

Подбор эмпирической формулы.. Ошибка! Закладка не определена.

Расчет. Ошибка! Закладка не определена.

7. Вывод. 2

8. Список литературы.. 2

Введение

1 Постановка задачи и исходные данные

Имеются экспериментальные данные в виде таблицы:

xi	6,04	6,33	4,86	5,91	4,96	5,58	6,15	6,13	4,65	5,49
yi	79,31	57,43	60,66	92,55	90,12	71,30	70,50	91,52	54,9	58,56

Необходимо обработать опытные данные путем нахождения аппроксимирующих зависимостей. Для расчета параметров аппроксимирующей функции применять метод наименьших квадратов

2 .Аппроксимация функций

Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y=f(x) она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(х), так чтобы отклонение φ(х) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(х) при этом называется аппроксимирующей.

Мерой отклонения φ(х) от заданной функции f(x) на множестве точек (х_i , y_i ) (i=0,1,…,n) при среднеквадратическом приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:

(1)

Надо подобрать такую функцию φ(х), чтобы величина S была наименьшей. В этом и состоит метод наименьших квадратов.

3. Подбор эмпирических формул

Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между у и х, мы в результате серии экспериментов произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значений

Х0	Х1	…	Хn
Y0	Y1	…	Yn

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость

y=f(x), (2)

значения которой при х= х_i (i=0,1,…,n) мало отличается от опытных данных y_i . Приближенная функциональная зависимость (2), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки (х_i , y_i ), как в случае интерполяции.

Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость

Y=ax+b

Другой простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен –парабола или кубическая парабола.

Y=ax² +bx+c

Y=ax³ +bx² +cх+d

Также за эмпирическую формулу можно взять любой полином Y = P_n (x), обратную степенную функцию Y=1/Q_n (x) или логарифмическую Y = aln(bx) + c.

Ниже приведены наиболее употребимые формулы и соответствующие им графики.

3.1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия)

Степенная зависимость имеет вид

(3)

Во всех случаях при При в точке кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при и тем быстрее она возрастает при

При в точке кривая касается оси ординат. При кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при наоборот.

Рисунок 1

График степенной зависимости

Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем равенство (3) при условии

(4)

Введем новую переменную тогда будет функцией от t . Обозначим тогда равенство (4) примет вид:

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующие операции:

1) по данной таблице 1 составить новую таблицу 2, прологарифмировав

Таблица 1 Таблица 2

2) по новой таблице 2 найти параметры и приближающей функции вида

3) используя примененные обозначения, найти значения параметров и и подставить их в выра

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать