Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине

«Программирование на языке высокого уровня»

на тему:

«Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам»

Введение

Целью данного проекта – является закрепление материала, изложенного в курсе «Программирование на языке высокого уровня» на основе какой-либо обобщающей задачи. В качестве таковой была выбрана задача определения пирамиды с выпуклым основанием по данным N точкам.

Данная задача предполагает укрепление знаний в линейной алгебре и закрепление их в виде решения поставленной задачи на языке высокого уровня(Pascal)

Постановка Задачи

Разработать подпрограмму для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам.

Создание демонстрационной программы для показа найденного решения. А так же создание библиотеки для работы с векторами в пространстве.

Теоретические сведения

Векторы

Вектором называется направленный отрезок.

У вектора есть начало и есть конец. Обозначается вектор строчными латинскими буквами a, b, c, ... или указанием его начала и конца, на первом месте всегда указывается начало. На чертежах вектор отмечается стрелкой. Иногда слово «вектор» не пишут, а ставят стрелочку над буквенным обозначением.

Вектор AB, AB, a

Вектор AB и вектор CD называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены

Вектор AB и вектор CD называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.

a и b одинаково направленные.

a и c противоположно направленные.

Абсолютной величиной вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначается как |a| .

Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Координатами вектора с началом в точке A1(x1; y1; z1) и концом в точке A2(x2; y2; z2) называются числа x2-x1, y2-y1, z2-z1. Вектор обозначается в пространстве так:

Есть вектора a. Пусть A (x; y) – начло вектора, а A` (x`; y`) – конец вектора. Координатами вектора a называются числа a1=x-x`, a2=y-y`. Для обозначения того, что вектор a имеет координаты a1 и a2, используют запись a (a1; a2) или (a1; a2).

Абсолютная величина вектора a (a1; a2) равна

Если начало вектора совпадает с его концом, то это нулевой вектор , обозначается (0).

Сложение векторов

Суммой векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется вектор c(a1+b1; a2+b2).

Для любых векторов a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливы равенства:

Теорема Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство

Доказательство.

Пусть A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) – данные три точки.

Вектор AB имеет координаты (x2 – x1; y2 – y1), вектор BC имеет координаты (x3 – x2; y3 – y2). Следовательно, вектор AB + BCимеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). А вектор AC имеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). Значит, AC = AB+ BC. Теорема доказана.

Сложение векторов. Правило параллелограмма

Правилом параллелограмма сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть векторы AB и AC у которых начало вектора совпадает, а концы не совпадают

Достроим данный угол до параллелограмма, так что AC = BD и AB = CD.

Тогда AB + BD = AD, а так как BD = AC, то AB + AC = AD

Сложение векторов. Правило треугольника

Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.

Свойство умножения вектора на число

Теорема

Абсолютная величина вектора λa равна |λ| |a|. Направление вектора λa при a≠ 0 совпадает с направлением вектора a, если λ>0, и противоположно направлению вектора a, если λ<0.

Доказательство.

Построим векторы OA и OB равные a и λa соответственно (O – начало координат). Пусть a1 и a2 – координаты вектора a. Тогда координатами точки A будут числа a1 и a2 координатами точки B – числа λa1 и λa2. Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0.

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λa одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λa противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора λa равна:

Теорема доказана.

Теорема

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

Доказательство

Рассмотрим два случая: 1) векторы не лежат на одной прямой.

Пусть есть вектор a с началом в точке A (x; y) и концом в точке A` (x`; y`). При параллельном переносе получаем вектор b, у которого тогда начало будет в точке B(x+c; y+d), а конец в точке B`(x`+c; y`+d). Отсюда

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать