Численные методы решения задач управления технологическими процессами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ»

Кафедра «Автоматика и Электротехника».

Курсовая работа.

«Численные методы решения задач управления технологическими процессами».

Группа: 07-ИУ-4

Студент: Коняхин Е. И.

Преподаватель: Михайлов А. В.

Москва 2010.

Поиск глобального максимума методом равномерного поиска.

Метод равномерного поиска заключается в последовательном вычислении целевой функции при всех допустимых значениях варьируемого параметра x:

Пусть заданная погрешность определения максимального значения .

Тогда для реализации алгоритма поиска следует определить значение в

точках, равномерно относящихся друг от друга на расстоянии , т.е. в точках:

Из полученных значений показателя качества выбирается наибольшее значение (глобальный максимум).

Алгоритм расчета.

f=f(x)

ДА

Результаты расчета.

Целевая функция имеет вид :

Интервал (-100;100)
Шаг H	Значение X	Значение F	Кол-во вычислений
1	1	23	21
0,1	0,19999998	23	201
0,01	0,959999	23,056	2001

Вывод : при уменьшении заданной погрешности ( точность измерений увеличивается, что позволяет нам получить верное значение глобального максимума. Недостатком метода является то, что одновременно с уменьшением заданной погрешности увеличивается требуемое количество вычислений функции, что приводит к большим затратам машинного времени.

Одномерная оптимизация методом дихотомии.

Этот метод используется для поиска экстремума класса унимодальных функций. Идея метода проста – делить интервал [ a, b] , где расположена точка экстремума , пополам

и отбрасывать ту часть, где экстремума заведомо быть не может. С этой целью достаточно вычислить значение в точках , отстоящих друг от друга на расстояние заданная погрешность определения оптимума. По двум вычисленным значениям и , в силу унимодальности функция легко установить новый интервал неопределенность по следующим условиям ( при поиске максимума):

Таким образом, в результате двух вычислений , промежуток , где содержится экстремум сократится в двое. Следующая пара измерений производится в районе серидины нового интервала неопределенности. Вычисления производятся до тех пор, пока на k -м шаге, после 2 k вычислений длина интервала неопределенности , где находится оптимум, не станет меньше или равна .

Алгоритм расчёта.

ДА

ДА

Результаты расчета .

Целевая функция имеет вид :

Интервал (-100;100)
Погрешность Е	Значение Х	Значение F	Кол-во итераций	Кол-во вычислен.
0.1	1,06640625	22,600226978	14	7
0.1	0,954638671	23,054333993	20	10
0.01	0,959232788	23,05589651	26	13
0.001	0,96173743	23,056110564	34	17

Вывод : как видно метод дихотомии позволяет довольно быстро попадать в район оптимума. И требует меньшего числа расчётов по сравнению с некоторыми другими методами (например : методом равномерного приближения).

Одномерная оптимизация методом золотого сечения.

Интервал неопределенности делится на три отрезка, причем внутренние точки располагаются симметрично по отношению к крайним .

Берутся пробные точки и располагаются следующим образом :

Вычисляется целевая функция в этих точках. В результате анализа двух значений и целевой функции исключается один из подинтервалов, где оптимума заведомо быть не может, и выбирается новый интервал неопределенности, который должен исследовать в дальнейшем.

Поиск оптимума завершается, если после k - го шага длина интервала неопределенности станет меньше или равна .

Алгоритм расчёта.

нет

нет