Применение NP-полных задач в ассиметрично-ключевой криптографии

Оглавление

Введение

1. Классы сложности задач в теории алгоритмов

2. NP-задачи

3. NP-полные задачи

4. Общие сведения о симметричной и ассиметрично-ключевой криптографии

5. «Лазейка» в односторонней функции

6. Криптографическая система RSA

7. Атаки RSA

8. Рекомендации для RSA

9. Криптографическая система Эль-Гамаля

10. Безопасность криптосистемы Эль-Гамаля

11. Алгоритм обмена ключами Диффи-Хеллмана

Заключение

Введение

На протяжении многих веков человечество использовало криптографические методы для защиты информации при ее передаче и хранении. Приблизительно к концу XIX в. эти методы стали объектом математического изучения. Отрасль математики, изучающая защиту информации, традиционно называется криптологией и подразделяется на криптографию, занимающуюся разработкой новых методов и обоснованием их корректности, и криптоанализ, задача которого – интенсивное изучение существующих методов, часто с целью реального раскрытия секретов другой стороны. Криптография и криптоанализ находятся в тесном взаимодействии друг с другом и с практическими нуждами и развиваются параллельно закрытыми правительственными организациями многих государств и международным научным сообществом.

В настоящее время существуют тысячи криптографических систем, реализованных как программно, так и аппаратно. Среди них можно выделить системы, сам криптографический принцип работы которых держится в секрете, как, например, микросхема Clipper, предлагаемая правительством США в качестве криптографического стандарта для телекоммуникаций, и системы, алгоритм которых открыт, а секретной является только определенная, как правило небольшая, порция информации, называемая (секретным) ключом – к ним относится большинство систем, реализуемых программно и предназначенных для широкого использования.

В системе рассматриваемого типа задача вскрытия системы, то есть нарушения защиты информации без предварительного знания ключа, как правило, теоретически разрешима при наличии у вскрывающей стороны неограниченных вычислительных ресурсов. С математической точки зрения надежность криптографической системы определяется сложностью решения этой задачи с учетом реальных вычислительных ресурсов потенциальной вскрывающей стороны. С организационной точки зрения имеет значение соотношение стоимости потенциального вскрытия и ценности защищаемой информации.

Математическое исследование надежности криптографических систем затруднено отсутствием универсального математического понятия сложности. По этой причине надежность большинства криптографических систем в настоящее время невозможно не только доказать, но даже адекватно сформулировать. Как правило, применение той или иной криптографической системы основано на результатах многолетнего практического криптоанализа систем данного типа, в той или иной степени подкрепленных математическим обоснованием. Это обоснование может сводить задачу раскрытия данной криптосистемы к какой-либо задаче теории чисел или комбинаторики, решение которой считается реально не осуществимым, или, что предпочтительнее, к классу NP-полных задач, сводимость к которому является “эталоном” практической неразрешимости. В то же время, понятие практической неразрешимости для конкретных практических задач не является четко определенным или стабильным, благодаря развитию вычислительной техники и методов криптоанализа.

1. Классы сложности задач в теории алгоритмов

Теория алгоритмов – наука, изучающая общие свойства и закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества алгоритмов и т. п.

В рамках классической теории осуществляется классификация задач по классам сложности (P-сложные, NP-сложные, экспоненциально сложные и др.). К классу P относятся задачи, которые могут быть решены за время, полиномиально зависящее от объёма исходных данных, с помощью детерминированной вычислительной машины (например, машины Тьюринга), а к классу NP – задачи, которые могут быть решены за полиномиально выраженное время с помощью недетерминированной вычислительной машины, то есть машины, следующее состояние которой не всегда однозначно определяется предыдущими. Работу такой машины можно представить как разветвляющийся на каждой неоднозначности процесс: задача считается решённой, если хотя бы одна ветвь процесса пришла к ответу. Другое определение класса NP: к классу NP относятся задачи, решение которых с помощью дополнительной информации полиномиальной длины, данной нам свыше, мы можем проверить за полиномиальное время. В частности, к классу NP относятся все задачи, решение которых можно проверить за полиномиальное время. Класс P содержится в классе NP. Классическим примером NP-задачи является задача о коммивояжёре.

Поскольку класс P содержится в классе NP, принадлежность той или иной задачи к классу NP зачастую отражает наше текущее представление о способах решения данной задачи и носит неокончательный характер. В общем случае нет оснований полагать, что для той или иной NP-задачи не может быть найдено P-решение. Вопрос о возможной эквивалентности классов P и NP (то есть о возможност

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать