Сравнительный анализ численных методов

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский государственный технический университет

Кафедра САПР

курсовая работа

по дисциплине: математическое обеспечение САПР

Тема: "Сравнительный анализ численных методов"

Караганда, 2009

Содержание

Введение

1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

1.1 Метод хорд

1.2 Практическое применение метода хорд

1.3 Метод касательных

1.4 Практическое применение метода касательных

1.4.1 Исследование функции

1.4.2 Исследование функции

1.5 Метод простой итерации

1.6 Практическое применение метода простой итерации

1.6.1 Исследование функции

1.6.2 Исследование функции

2. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования

2.1 Многочлен Лагранжа

2.2 Интерполяция сплайнами

2.3 Практическое применение метода интерполяции для решения уравнений

2.4 Практическое применение кубического и глобального сплайна

3. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

3.1 Метод простой итерации

3.2 Метод Зейделя

3.3 Практическое применение метода простых итераций при решении СЛАУ

3.4 Практическое применение метода Зейделя при решении СЛАУ

3.5 Программная реализация итерационных методов решения СЛАУ

4. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

4.1 Методы численного дифференцирования

4.2 Методы численного интегрирования

5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1 Метод Эйлера

5.2 Модификация метода Эйлера:

усовершенствованный метод Эйлера

5.3 Практическое применение метода Эйлера

5.4 Практическое применение уточненного метода Эйлера

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Целью нашей работы является сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, а также метод Эйлера.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов очень удобно использовать средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Задание:

По итерационным методам решения нелинейных уравнений:

Определить корень в заданном или выбранном отрезке методом хорд, касательных и простой итерации.

Используя результаты решений, указать наименьший полученный отрезок, в котором содержится корень уравнения.

Для каждого метода и каждой задачи построить график функции на [a, b] и убедиться в выполнении условия сходимости итерационной процедуры.

Используя функции F ( x) из п.1, построить интерполяционный многочлен L₄ ( x) на [a, b], использовав в качестве узловых a и b, остальные необходимые узловые точки выбрать, разделив промежуток [a, b] на почти равные части. Вычислить значения F ( x) и L₄ ( x) в двух точках, одна из которых - середина крайней части, а вторая - середина части, содержащей точку . Сравнить полученные величины. Используя эти же узловые точки, провести обратную интерполяцию и определить значение х при y=0 . Полученный результат сравнить с ранее найденным решением уравнения.

Сравнить результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации.

Провести сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования.

Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера и уточненным методом Эйлера с 5-ю и 20-ю шагами и сравнить их, если возможно с результатом точного решения ОДУ.

1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F ( x) =0 , где F ( x) - непрерывная функция, - встречается в различных областях научных исследований. Корнам (или решением) уравнения F ( x) =0 называется значение , при котором. Методы решения нелинейных уравнений делятся на:

прямые;

итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Такие методы применяются для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако, на практике встречаются уравнения, которые не удается решить простыми методами. Тогда используются итерационные методы решения, т.е. методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

этап локализации (или отделения) корней;

этап итерационного уточнения.

Локализация корней. Отрезок [a, b], содержащий только один корень уравнения F ( x) =0 , называют отрезком локализации корня . Цель этапа локализац

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать