Приближенное вычисление значений определенного интеграла
Федеральное агентство по образованию РФТульский государственный университет
Кафедра АОТ и ОС
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу информатика
"ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"
Тула, 2007
Содержание
Введение
Метод средних прямоугольников
Метод трапеций
Метод Ньютона-Котеса
Метод Чебышева
Блок-схема основной программы
Блок-схема процедуры: метод трапеций
Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса
Блок-схема процедуры: метод Чебышева
Текст программы
Список используемой литературы
Введение
На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа
широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:
(1)
от непрерывной на отрезке [a, b] функции .
Численные методы интегрирования применяются в случаях, когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции либо если функция задана таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.
Пример: Приближенное неравенство
(2)
где qj – некоторые числа, xj – некоторые точки отрезка [a, b], называется квадратурной формулой , определяемой весами qj и узлами xj .
Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство (2) становится точным.
Рассмотрим некоторые широко используемые примеры приближенного вычисления определенных интегралов, квадратурные формулы.
Метод средних прямоугольников
Вычисление определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры, ограниченной кривой , прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.
Обозначим , где
n – количество шагов.
Формула левых прямоугольников:
Формула правых прямоугольников:
Более точной является формула средних прямоугольников:
Метод трапеций
Площадь под кривой заменяется суммой площадей трапеций:
или
Нетрудно убедиться, что
Поскольку точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не будет выполнено условие
<
где – значения интеграла на шаге, а – точность вычислений.
Метод Ньютона-Котеса
Заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:
.
Тогда
;
(1)
Так как dx=hdq, то
Так как , то
Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:
(2)
Величины Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).
Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.
Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса
| H | N | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| H0 | 1/2 | 1/6 | 1/8 | 7/90 |
| H1 | 1/2 | 2/3 | 3/8 | 16/45 |
| H2 | - | 1/6 | 3/8 | 2/15 |
| H3 | - | - | 1/8 | 16/45 |
| H4 | - | - | - | 7/90 |
Интересно отметить, что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1
;
формула Симпсона при n=2
;
правило трех восьмых при n=3
.
Формулу (2) при n>6 не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими и вычислительная погрешность резко возрастает.
Метод Чебышева
П.Л. Чебышев предложил формулу:
,
в которой коэффициенты ci фиксированы, а хi подлежат определению.
Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.
Таблица 2. Значения узлов квадратурной формулы Чебышева
| Число интервалов n | Номер узла i | Значение узла Xi |
| 1 | 1 2 | 0,211325 0,788675 |
| 2 | 1 2 3 | 0,146447
Оценок: 1000 (Средняя 5 из 5)
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов. © 2016 - 2022 BigEdu.ru
|