Інтерполювання функцій за формулою Лагранжа

Зміст

Вступ

1.Теоретична частина

1.1Постановка задачі

1.2Використовувані методи і алгоритми

1.3Вхідні та вихідні дані

2. Практична частина

2.1 Архітектура програми

2.2 Опис програми

2.3 Контрольний приклад

Висновок

Список використаної літератури

Додаток 1

Додаток 2

Додаток 3

Додаток 4

Вступ

Розвиток та значне поширення засобів обчислювальної техніки в останні роки послужило поштовхом для розробки програмного забезпечення різного рівня складності та різного за призначенням.

Для засвоєння вмінь та навичок розробки програмного забезпечення в процесі навчання вивчається предмет «Основи програмування та алгоритмічні мови». Курсовий проект є підсумком отриманих під час навчання знань.

Курсовий проект «Інтерполювання функцій за формулою Лагранжа» розроблений на алгоритмічній мові програмування з використанням модуля користувача для роботи з многочленами та математичних методів обробки інформації.

- в першому розділі виконується аналіз задачі, що вирішується, а саме: описується математичний аспект задачі, вичленяються базисні операції, які надалі оформляються як відносно незалежні частини програми (процедури і функції), приводяться вхідні дані.

- в другому розділі розкривається творчий процес рішення: логічне представлення даних, розробка алгоритму, розробка та опис програми.

Проект «Інтерполювання функцій за формулою Лагранжа» носить практичний характер і є досить актуальною.

1. Теоретична частина

Постановка задачі

Нехай на відрізку [a;b] визначено певний клас функцій {P(x)}, наприклад, клас алгебраїчних многочленів, а в точках x₀ ,x₁ ,...,x_n цього проміжку задано значення деякої функції y=f(x): y₀ =f(x₀ ), y₁ =f(x₁ ), ..., y_n =f(x_n ). Наближену заміну функції f на відрізку [a;b] однією з функцій P(x) цього класу так, щоб функція P(x) в точках x₀ ,x₁ ,...,x_n набувала тих самих значень, що й функція f, називають інтерполюванням або інтерполяцією . Точки x₀ , x₁ , ... ,x_n називають вузлами інтерполювання , функцію P(x) - інтерполюючою функцією , а формулу f(x)»P(x), за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [a;b], - інтерполяційною формулою.

Якщо функція P(x) належить до класу алгебраїчних многочленів, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, диференціювати та інтегрувати.

Сформулюємо задачу параболічного інтерполювання: в n+1 різних точках x₀ , x₁ , ... ,x_n задано значення функції f: y₀ =f(x₀ ), y₁ =f(x₁ ), ..., y_n =f(x_n ) і треба побудувати многочлен

P_n (x)=a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 +...+a_n-1 x+a_n

степеня n, який задовольняв би умови:

P_n (x_i )=y_i (i=0,1, . . . , n).

Задача має єдиний розв’язок. Многочлен P_n (x) називають інтерполяційним многочленом. Інтерполяційний многочлен єдиний, проте можливі різні форми його запису.

Інтерполяційний многочлен будують тоді, коли:

функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а треба знайти її значення для значень аргументу, яких в таблиці нема.

функцію задано графічно, а треба знайти її наближений аналітичний вираз.

функцію задано аналітично, але її вираз досить складний і незручний для виконання різних математичних операцій.

При написанні даної роботи розглядалася задача побудови інтерполяційного многочлена.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа має такий вираз:

L_n (x)=

Многочлен Лагранжа зручно будувати у випадку рівновіддалених вузлів

Використовувані методи і алгоритми

При написанні представленої роботи використовувалися математичні методи, які відповідають основним операціям у кільці многочленів. На кільці многочленів визначеними є операції додавання, віднімання, множення та ділення з остачею. В ролі кільцевого нуля виступає многочлен нульового степеня f(x)=0, в ролі кільцевої одиниці – многочлен нульового степеня f(x)=1. В якості похідних операцій визначаються також: присвоєння, визначення степеня, обчислення значення, вводу та виводу многочлена на екран та в файл, множння многочлена на число. Якщо ми коректно означимо ці операції, то буде досить просто використовувати їх для обчислення коефіцієнтів шуканого многочлена та знаходження його значення для заданого значення х.

Вхідні та вихідні дані

Задане табличне представлення функції:

x	3	7	11	15	19
y	4	10	22	26	23

Методом інтерполяції Лагранжа знайти значення функції при x=13.

Щоб перевірити коректність роботи програми, яку потрібно створити, розв’яжемо цю задачу методами математичного пакету MathCad.

2. Практична ча

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать