Программа вычисления минимума заданной функции

1. Индивидуальное задание

Вычислить минимум функции F(x)=L(x₁ )x² -2.5L(x₂ )x-3 на отрезке [a;b] с точностью ε.

L(x₁ ), L(x₂ ) значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x₁ , x₂ .

Исходные данные:

a=0; b=2;

x₁ =0.041770;

x₂ =0.587282;

ε=10^-4 ;

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
f(x)	1.858652	1.851659	1.851401	1.848081	1.841914	1.833125	1.821948

2. Постановка задачи и формализация

Для решения поставленной задачи необходимо разработать программные модули, выполняющие следующие действия:

- главный модуль, получающий исходные данные (таблично заданную f(x), a, b, x₁ , x₂ , ε), передающий их на обработку и выводящий промежуточные и конечные результаты (L(x₁ ), L(x₂ ), найденный минимум функции)

- модуль поиска значения интерполяционного многочлена L(x₁ ), L(x₂ )

- модуль поиска минимума функции F(x) численным методом, использующий L(x₁ ), L(x₂ ) как коэффициенты при x² и x

3. Выбор, обоснование, краткое описание методов

3.1 Поиск значений интерполяционного многочлена в точках x ₁ и x ₂

3.1.1 Постановка задачи

Требуется найти L(x₁ ), L(x₂ ) - значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x₁ ,x₂ Здесь решается задача аппроксимации, которая состоит в замене некоторой функции

у = f(х) другой функцией g(х,а₀ ,а₁ ,...,a_n ) таким образом, чтобы отклонение g(х,а₀ ,а₁ ,...,a_n ) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве X) определенному условию. Этим условием является g(x_i ,a_0, a₁ ,…a_n )=f(x_i ) при i=0,n, которое означает, что аппроксимируемая функция f(x) совпадает с g(x_i ,a_0, a₁ ,…a_n ) в т.н. узлах интерполяции x₀ ,x₁ ,…,x_{n .} Это частный случай аппроксимации, называемый интерполяцией.

3.1.2 Выбор и описание метода

Задача интерполяции может быть решена множеством методов, среди которых:

1) интерполяционный многочлен Лагранжа

интерполяционные формулы Ньютона Выберем для решения задачи интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа, так как его построение просто в алгоритмизации, не требует вычисления конечных разностей функции, , может быть умещено в одну небольшую процедуру – функцию.

Кроме того, метод Лагранжа работает и для неравноотстоящих интерполяционных узлов, к тому же не имеет различий, если точки x₁ и x₂ для поиска значений L(x₁ ), L(x₂ ) лежат в начале или в конце отрезка, где таблично задана функция.

Описание метода:

Задача интерполяции будем решать построением многочлена Лагранжа, который имеет вид:

Степень многочлена n обеспечивается n+1 интерполяционным узлом. Для задания таблицы значений функции будем использовать два массива x() и y(). Полином должен удовлетворять условию L_n (x_i )=y(i)

3.2 Поиск минимума функции F(x) на отрезке [a;b]

3.2.1 Постановка задачи

Необходимо численным методом найти минимум функции F(x)=L(x₁ )x² -2.5L(x₂ )x-3

на отрезке [a;b] с точностью ε, при том, что L(x₁ ) и L(x₂ ) – коэффициенты, полученные вычислением полинома Лагранжа в точках x₁ , x₂ . Это задача одномерной оптимизации.

Выбор метода: Для решения задачи одномерной оптимизации существует множество методов, среди которых:

1) метод прямого перебора

2) метод дихотомии

3) метод золотого сечения

4) метод Фибоначчи

5) метод касательных

6) метод Ньютона

оптимизация методом квадратичной интерполяции Выберем метод дихотомии, т.к. он прост в алгоритмизации, обеспечивает быструю сходимость (на каждой итерации отрезок неопределённости сужается почти вдвое). Его недостаток в виде необходимости многократного вычисления F(x) не играет особой роли, т.к. F(x) – обыкновенный полином и расчёт его значений не затратит много ресурсов ПК.

Описание метода:

Пусть f(x)- унимодальная на [a;b] и требуется найти минимум f(x) с абсолютной погрешностью Е. Идея метода дихотомии состоит в проведении на каждой итерации двух отсчётов (вычислений значений функции), отстоящих от середины отрезке неопределённости [а;b] на величину de[0;2E] и сравнения значения исследуемой функции в двух точках х^{( n -1)} и

x^{( n -1)} . определяемых рекуррентными формулами:

Если

, то

Инач

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать