Полный факторный эксперимент

Аннотация

Необходимыми и достаточными условиями для определения любой отрасли знаний как науки является наличие: предмета исследования, метода исследования и средств для реализации этого метода.

Для кибернетики, как науки, предметом исследования являются системы любой природы и их управляемость, методом исследования – математическое моделирование, стратегией исследования – системный анализ, а средством исследования – вычислительные машины. Поэтому кибернетику можно определить как науку, изучающую системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления.

Сейчас с каждым годом возрастает роль средств, позволяющих рационально использовать ресурсы, выделенные для решения задач. Часть методов кибернетики предназначены для увеличения эффективности научного эксперимента на всех стадиях разработки, исследования, проектирования и эксплуатации производств.

Кибернетика включает такие понятия, как системы, информация, хранение и переработка информации, управление системами и оптимизация систем. При этом кибернетика широко пользуется методом математического моделирования и стремится к получению конкретных результатов, позволяющих анализировать и синтезировать изучаемые системы, прогнозировать их оптимальное поведение и обнаруживать каналы и алгоритмы управления.

Введение

В тех случаях, когда информации о рассматриваемом процессе недостаточно или процесс настолько сложен, что невозможно составить его детерминированную модель, прибегают к экспериментально-статистическим методам. При этом процесс рассматривают как “черный ящик”. Различают пассивный и активный эксперимент.

Пассивный эксперимент является традиционным методом, в соответствии с которым ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных.

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану (планирование эксперимента), при этом предусматривается одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия параметров и на этом основании сократить общее число опытов.

Использование принципов регрессионного и корреляционного анализа при обработке опытных данных позволяет найти зависимость между переменными и условия оптимума. В обоих случаях математической моделью является функция отклика, связывающая параметр оптимизации, характеризующий результаты эксперимента, с переменными, которые экспериментатор варьирует при проведении опытов.

Регрессионный анализ – один из наиболее распространенных статистических методов. Он используется при построении математической зависимости на основе экспериментальных данных. Благодаря регрессионному анализу возможны построения математической модели и статистический анализ результатов. В первом случае прибегают к различным вариантам метода наименьших квадратов.

В основе регрессионного анализа лежит несколько статистических предпосылок, выполнение которых гарантирует достоверность анализа полученной математической модели:

Выходная переменная – случайная величина с нормальным распределением, факторы – суть не случайные величины; практически это означает, что ошибки в управлениями факторами, по крайней мере на порядок меньше ошибок при измерении выходной переменной.

Связь между факторами отсутствует.

Дисперсии выходной переменной однородны (равноточные) в любой точке факторного пространства.

Исследуемый объект лишен динамических свойств (рассматриваются стационарные режимы объекта).

1. Описание метода и алгоритма решения

Ставится задача определения локального оптимума на объекте исследования, для этого предполагается использовать математическую модель, полученную с помощью полного факторного эксперимента.

Выбирают факторы и выходную переменную, задают области определения факторов и выходной переменной

ymin £ y £ ymax

X1min £ X1 £ X1max

X2min£X2 £X2max

........

В области определения факторов выбирается точка Xi0, i = 1…n (нулевой уровень факторов), которая в предварительных исследованиях была признана наилучшей с точки зрения оптимума y. Задается интервал варьирования факторов DXi. Определяются верхние и нижние уровни факторов:

Xiв = Xi0 + DXi;

Xiн = Xi0 - DXi (1)

при условии, что ( Xiн ¸Xiв) < ( Ximin¸Ximax).

Кодируются факторы (переход к новой безразмерной системе координат x1, x2, …, xn)

В новой системе координат факторы принимают значения +1 и –1.

План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде таблицы. Фиктивная переменная x0 равна единице. В матрицу также записывают результаты проведения параллельных опытов (m опытов в каждой строке матрицы).

План эксперимента должен обладать ортогональностью:

Как следствие (4) план эксперимента обладает симметричностью:

и нормировкой

Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Коэффициенты рассчитываются по уравнению

где

и окончательно

где N – число строк матрицы планирования (число разных условий опыта); m – число параллельных опытов на каждой строке матрицы.

Построчные дисперсии по параллельным опытам на каждой строке матрицы рассчитываются по уравнению

где fu = mu –1.

Проверка однородности дисперсий о

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать