Анализ методов определения минимального, максимального значения функции при наличии ограничений

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный открытый университет

Чебоксарский политехнический институт

Курсовой проект

по дисциплине: "Оптимальные системы автоматического управления"

на тему: "Анализ методов определения минимального, максимального значения функции при наличии ограничений"

Выполнил:

студент 5 курса,

ФУИТС, гр. И-52/06,

Терсенидис М. Г.

Проверила:

Изосимова Т. А.

Чебоксары – 2010

Задание

Дана несепарабельная квадратичная функция двух переменных:

,

где a = 1, b = 0.5, c = 1, d = 0, e = 1, f = 0.333.

Дана начальная точка поиска A⁰ (x⁰ , y⁰ ), где x⁰ = 0.5, y⁰ = 2.5.

1. Найти безусловный экстремум функции f(x,y):

· методом наискорейшего спуска;

· методом сопряженных направлений.

Точность вычислений:

2. Найти условный экстремум этой же функции f(x,y) методом симплексных процедур при наличии ограничений:

1.5x + у – 3.75 ≥ 0;

0.5х + у - 3.75 ≤ 0;

x- у - 2 ≤ 0.

3. Выполнить синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина (критерий по быстродействию), передаточная функция объекта:

, где k = 4, T₁ = 10, T₂ = 5.

· разработать модель для данного типа ОСАУ;

· провести исследование ОСАУ с применением программного продукта "20-simPro 2.3";

· снять переходные и импульсные характеристики.

Содержание

Введение

1. Анализ методов определения минимального и максимального значения функции многих переменных без ограничений

2. Нахождение экстремума функции без ограничения

3. Анализ методов определения минимального, максимального значения функции при наличии ограничений

4. Нахождение экстремума функции при наличии ограничений

5. Синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

функция переменная экстремум максимум

Введение

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:

· методы исследования функций классического анализа;

· методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа;

· вариационное исчисление;

· динамическое программирование;

· принцип максимума;

· линейное программирование;

· нелинейное программирование.

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие - менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования) на определенных этапах решения оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием или принципом максимума.

Отметим также, что некоторые методы специально разработаны или наилучшим образом подходят для решения оптимальных задач с математическими моделями определенного вида. Так, математический аппарат линейного программирования, специально создан для решения задач с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями на переменные и позволяет решать большинство задач, сформулированных в такой постановке.

Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния.

Пожалуй, наилучшим путем при выборе метода оптимизации, наиболее пригодного для решения соответствующей задачи, следует признать исследование возможностей и опыта применения различных методов оптимизации.

1. Анализ методов определения минимального и максимального значения функции многих переменных без ограничений

В данном разделе будет рассматриваться задача безусловной оптимизации, т.е. данная задача характеризуется тем, что минимум функции f: R^m ® R ищется на всем пространстве: f(x) ® min, x Î R^m .

Методы безусловной оптимизации функции многих переменных отличаются относительно высоким уровнем развития по сравнению с другими методами нелинейного программирования. Условно их можно разбить на три широких класса по типу используемой информации:

· методы прямого поиска, основанные на вычислении только значений целевой функции;

· градиентные методы, в которых используются точные значения первых производных f (x);

· методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются также вторые производные функции f (x).

Методы прямого поиска