Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
1. Краткое математическое описание методов расчёта
1.1. Общие положения
Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:
(1)
Для нерекурсивного цифрового фильтра и уравнение принимает вид:
(2)
Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):
(3)
Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение
, (4)
где – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.
Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики :
(5)
Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).
Заменив в (4) z на , получим комплексную частотную характеристику:
(6)
Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:
(7)
(8)
Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:
(9)
(10)
Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования . Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:
(11)
Так как интервал определения , то интервал определения . Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.
Аналитически АЧХ будет записываться в виде:
(12)
При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:
1. N – нечётное, ИХ – симметричная
2. N – чётное, ИХ – симметричная
3. N – нечётное, ИХ – антисимметричная
4. N – чётное, ИХ – антисимметричная
цифровой фильтр выборка частотный
1.2 Метод частотной выборки
Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:
(13)
(14)
Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):
(15)
(16)
Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:
(17)
Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:
(18)
(19)
При чётном N:
(20)
При нечётном N:
(21)
Подставляя вместо , по выражениям (20) и (21) можно найти , а из (17) – .
1.3 М етод наименьших квадратов
При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:
после чего решается система уравнений:
и находятся коэффициенты Ск.
Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:
2. Расчётная часть
2.1 Расчёт методом частотной выборки
2.1.1 Расчёт импульсной характеристики
Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
| i | Значение импульсной характеристики | ||
| N=15 | N=25 | N=32 | |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | 0,081 -0,013 0,025 -0,052 -0,303 0,03 0,46 0,03 -0,303 -0,052 0,025 -0,013 0,081 | 0,001497 0,001756 -0,02 -0,007456 -0,007554 0,028 0,061 -0,004905 0,034 -0,048 -0,297 -0,035 0,45 0,035 -0,297 -0,048 0,034 -0,004905 0,061 0,028 -0,007454 -0,007456 -0,02 0,001756 0,001497 | 0,001488 -0,008534 0,008698 -0,000256 0,003711<
Оценок: 1000 (Средняя 5 из 5)
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов. © 2016 - 2022 BigEdu.ru
|