Алгоритмы нахождения кратчайших путей в графе

Граф - исключительно популярный объект, минимально удаленный как от своего целостного пространственного образа, так и от описания по всем правилам теории множеств. Всякий раз, когда с задачей удается связать граф, обсуждение резко упрощается и большие фрагменты словесного описания заменяются манипуляциями с картинками.
Ю.И.Манин.
Многосвязная структура характеризуется следующими свойствами: (1) каждый элемент структуры содержит произвольное число направленных связей с другими элементами (или ссылок на другие элементы); (2) с каждым элементом может связываться произвольное количество других элементов (каждый элемент может быть объектом ссылки произвольного количества других элементов); (3) каждая связь в структуре имеет не только направление, но и вес. Такую многосвязную структуру называют сетевой структурой или сетью. Заметим, что логически сеть эквивалентна взвешенному ориентированному графу общего вида, и поэтому вместо термина "сеть" часто употребляются термины "графовая структура", или даже просто "граф".
Особое значение сетевые структуры приобрели в системах искусственного интеллекта, в которых они адекватно отражают логику организации данных и сложные отношения, возникающие в таких системах между различными элементами данных. В этих системах сетевые структуры применяются для построения семантических сетей, фреймов и других логических конструкций, необходимых для представления знаний, образования понятий и осуществления логических выводов.
Кратчайшие пути в графе. Алгоритм Форда-Беллмана.
Мы взбираемся на вершину, откуда можем бросить гордый взгляд назад и оценить пройденный путь.
П.Буль.
Существует большое количество практических задач, сводящихся к поиску кратчайших путей в графе. К их числу можно отнести: поиск кратчайшего расстояния между городами; поиск пути передачи информации, обеспечивающего минимальную стоимость или минимальное время передачи, или максимальную надежность при распространении информации в разветвленной сети.
Исходными данными для поиска кратчайшего пути в графе является матрица весов дуг заданного ориентированного графа. Это означает, что каждой дуге (u,v)E поставлено в соответствие некоторое вещественное число А(u,v), называемое весом данной дуги. Длину кратчайшего пути d(s,t) между вершинами s и t называют расстоянием от s до t (расстояние, определенное таким образом, может быть и отрицательным). Если не существует ни одного пути из s в t, то полагают d(s,t)=Ґ, где Ґ- некоторый символ.
Большинство алгоритмов поиска расстояний между двумя фиксированными вершинами s и t включают в себя следующие действия: по данной матрице весов дуг A*u,v] (u,vV) вычисляют некоторые верхние ограничения D*v+ на расстояние от s до всех вершин v. На каждом шаге, если D*v++A*u,v+c->j.
б) Если весовая величина пути i->c->j меньше уже установленного расстояния от вершины i до j, то выполняется пункт в, иначе к пункту г.
в) Предком вершины j становится промежуточная вершина c, а расстояние от i до j сумма весов дуг пути i->c->j.
г) Для рассмотрения берётся следующая после вершина после вершины j – j+1.
д) Если все вершины занесены в дерево, то производится вывод на экран выходных данных, если нет, то происходит переход к пункту а.
ВЫПОЛНЕНИЕ ПОСТАВЛЕНОЙ ЗАДАЧИ.
Ручной просчет.
Даны 3 ориентированных графа G1 (5,12), G2 (4,7), G3 (7,14), заданные матрицами смежности. Построить для этих графов деревья кратчайших путей.
Матрица смежности графа G1 :
0 6 7 7 2
0 0 3 8 -3
0 -1 0 0 -4
0 0 -3 0 9
0 0 7 0 0
Массив предков: ftr = (0, 3, 4, 1, 3).
Массив расстояний от 1-ой начальной вершины до остальных: l = (0, 3, 4, 7, 0).
Рис. 3: Граф G1 .
Рис. 4: Дерево кратчайших путей для графа G1 .
Матрица смежности графа G2 :
0 7 0 5
4 0 3 -1
-2 0 0 -6
0 0 0 0
Массив предков: ftr = (0, 1, 2, 3).
Массив расстояний от 1-ой
начальной вершины до остальных: Рис. 5: Граф G2 .
l = (0, 7, 10, 4).
Рис. 6: Дерево кратчайших путей для графа G2 .
Матрица смежности графа G3 :
0 5 0 0 1 0 3
0 0 4 0 7 0 0
0 -4 0 0 -3 0 0
0 0 2 0 0 8 0
0 0 0 2 0 3 0
3 0 0 4 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 0
Рис. 7: Граф G3 .
Массив предков: ftr = (0, 3, 4, 5, 1, 7, 1).
Массив расстояний от 1-ой начальной вершины до остальных:
l=(0,1, 5, 3, 1, 2, 1).
Рис. 8: Дерево кратчайших путей для графа G3 .
Тест программы.
Рис. 9: Выполнение программы для графа G1 .
Рис. 10: Выполнение программы для графа G2 .
Рис. 11: Выполнение программы для графа G3 .
Рис. 12: Выполнение программы для графа G2 .
В графе G2 есть вершина, из которой нельзя построить дерево кратчайших путей – это 4 вершина, так как из неё не выходят дуги. Программа проводит проверку на заданную пользователем вершину, в нашем случае 4, и проводит проверку и обнаруживает, что 4 не подходит. Далее программа вновь предлагает ввести номер вершины и для введенной 2 успешно вычисляет выходные массивы. Правильность данных можно проверить, сверив их с деревом кратчайших путей для графа G2 с начальной 2 вершиной на рисунке 13.
Рис. 13: Дерево кратчайших путей для графа G2 с начальной вершиной №2.
КОД ПРОГРАММЫ.
program kurs; uses crt; const m=10;
type matrix= array [1..m, 1..m] of integer; massiv= array [1..m] of integer; var i,j,min,c,k,s,n: integer; v,l,ftr: massiv; smej: matrix; f: file of integer; label metka;
procedure vvod1(n: integer; var smej: matrix); begin
assign(f,'data/graph_1.bin');
reset(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin read(f,c); smej[i,j]:=c; end; close(f); end;
procedure vvod2(n: integer; var smej: matrix); begin
assign(f,'data/graph_2.bin');
reset(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin read(f,c); smej[i,j]:=c; end; close(f); end;
procedure vvod3(n: integer; var smej: matrix); begin
assign(f,'data/graph_3.bin');
reset(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin read(f,c); smej[i,j]:=c; end; close(f); end; Begin clrscr;
write('Введите число вершин исследуемого графа (4,5,7) '); read(n); case n of 5: vvod1(n,smej);
4: vvod2(n,smej); 7: vvod3(n,smej); end;
write('Ведите исходную вершину ');
metka: read(i); s:=0; for k:=1 to n do if not(smej[i,k]=0) then s:=1; if s=0 then begin writeln('Из этой вершины нет выходящих дуг.'); write('Bведите другую вершину '); goto metka end; writeln('Матрица смежности: '); for k:=1 to n do begin for s:=1 to n do if smej[k,s]<0 then write(' ',smej[k,s]) else write(' ',smej[k,s]); writeln;
end;
for j:=1 to n do begin l[j]:=smej[i,j]; ftr[j]:=i;
if l[j]=0 then l[j]:=99; end;
l[i]:=0; for j:=1 to n do begin min:=l[j]; for k:=1 to n do if not(smej[k,j]=0) and not(k=i) then if smej[k,j]<min then begin
c:= k; min:=smej[k,j]; end; v[j]:= l[c]+smej[c,j]; if v[j]<l[j] then
begin
l[j]:=v[j]; ftr[j]:=c; j:=1; end;
End;
ftr[i]:=0; l[i]:=0;
writeln('Массив предков: ');
write(' ftr ='); for k:= 1 to n do
write(' ',ftr[k]); writeln;
writeln('Массив со значениями кратчайших путей от ',i,' вершины: '); write(' l ='); for k:=1 to n do if l[k]<0 then write(' ',l[k]) else write(' ',l[k]); End.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Коды программ используемые для создания файлов с данными. Для 1-го графа. program graph1; uses crt; const n=5;
type matrix= array [1..n, 1..n] of integer;
var i,j,c,n: integer; smej: matrix; f: file of integer; Begin clrscr;
smej[1,2]:=6; smej[1,3]:=7; smej[1,4]:=7; smej[1,5]:=2; smej[2,3]:=3; smej[2,4]:=8; smej[2,5]:=-3; smej[3,2]:=-1; smej[3,5]:=-4; smej[4,3]:=-3; smej[4,5]:=9; smej[5,3]:=7; assign(f,'data/graph_1.bin');
rewrite(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin c:=smej[i,j]; write(f,c); end; close(f); End.
Для 2-го графа. program graph2; uses crt; const n=4;
type matrix= array [1..n, 1..n] of integer;
var i,j,c,n: integer; smej: matrix; f: file of integer; Begin clrscr; smej[1,2]:=7; smej[1,4]:=5; smej[2,1]:=4;smej[2,3]:=3; smej[2,4]:=-1; smej[3,1]:=-2; smej[3,4]:=-6; assign(f,'data/graph_2.bin');
rewrite(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin c:=smej[i,j]; write(f,c); end; close(f); End.
Для 3-го графа. program kurs; uses crt; const n=7;
type matrix= array [1..n, 1..n] of integer;
var i,j,c,n: integer; smej: matrix; f: file of integer; Begin clrscr; smej[1,2]:=5; smej[1,5]:=1; smej[1,7]:=3; smej[2,3]:=4; smej[2,5]:=7; smej[3,2]:=-4; smej[3,5]:=-3; smej[4,3]:=2; smej[4,6]:=8; smej[5,4]:=2; smej[5,6]:=3; smej[6,1]:=3; smej[6,4]:=4; smej[7,6]:=-1; assign(f,'data/graph_3.bin'); rewrite(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin c:=smej[i,j]; write(f,c); end; close(f); End.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
В.Н. Землянухин, Л.Н. Землянухина – Задачи оптимизации на графах. 2009г.
А.Е. Костин, В.Ф. Шаньгин – Организация и обработка структур данных в вычислительных системах. Учебное пособие для вузов. 1987г.
Ж. Трамбле, П. Соренсон – Введение в структуры данных. 1982г.
Ф. Харари – Теория графов. 1973г.
В. Липский – Комбинаторика для программистов. 1988г.
В.Л. Бурковский, Л.В. Холопкина, Н.Л. Райхель, О.Я. Кравец – Методы моделирования и анализа вычислительных систем. Учебное пособие. 1996г.
В.А. Евстигнеев, В.Н. Касьянов – Графы в программировании: обработка, визуализация и применение.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию