Розвязання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера

План
1. Постановка задачі
2. Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
3. Розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера
а) похибка при вирішенні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера. Алгоритм розв’язання диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера
4. Блок – схема
5. Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal
6. Результат роботи програми
7. Умовні позначення
8. Список використаних джерел
Постановка задачі
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТА МЕТОД ВИРІШЕННЯ
Вирішити диференціальне рівняння чисельним методом ( у/ =f(x,y)) це означає для заданої послідовності аргументів х0 , х1 …, хn і числа у0 , не визначаючи функцію у=F(x),знайти такі значення у1 , у2 ,…, уn , що уi =F(xi )(i=1,2,…, n) і F(x0 )=y0 .
Таким чином численні методи дозволяють замість знаходження функції У=F(x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. . Величина h=xk -xk-1 називаеться кроком інтегрування.
Метод Ейлера відноситься до численних методів, що дають відповідь у вигляді таблиці наближених значень шуканої функціїу(х). він є порівняно грубим та використовуеться в основному для приблизних розрахунків.
Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння виду :
де порядок старшої похідної к називається порядком звичайного диференціального рівняння. Звичайне диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Для знаходження хоча б одного розв’язку потрібні додаткові умови. Ці умови можуть бути двох типів – задача Коші та Краєва задача. Згідно теми курсової роботи розглянемо лише перший тип умови, тобто задачу Коші. При розв’язанні задачі Коші додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної. Наприклад, при х = а задані значення функції і можливі деякі похідні шуканої функції і так далі…. . Існують декілька методів розв’ язання задачі Коші:
1. Апроксимація рядом Тейлора
2. Методи Рунне – Кутта
3. Методи прогнозу та корекції
Нульовим наближенням всіх вище перерахованих методів вирішення задачі Коші є метод Ейлера.
Розв ’ язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера
Розглянемо найпростіший метод вирішення задачі Коші. Проілюструємо його на прикладі звичайного диференціального рівняння першого порядку.
ПУ *
Підстановка ПУ в початкове ЗДР* дає значення похідної функції в початковій точці. Розв’язок в наступній точці записується у вигляді:
.
При цьому допускається похибка : . Далі використовується точка, яку можна вважати початковою і за допомогою її визначається наступна точка і так далі.
Отже узагальнена формула методу Ейлера набуває вигляду:
Похибка, що допускається на кожному кроці : . Сума всіх похибок при обчисленні на кожному з кроків вирішення дає нам загальну похибку . Метод Ейлера є аналогом методу прямокутників для чисельного інтегрування. Якщо права частина початкового ДР* не залежить від у, то значення шуканої функції в точці визначається інтегралом і тоді загальна формула методу Ейлера являє собою формулу лівих прямокутників. Але, на відміну від інтегрування, де похибки просто сумувалися, при вирішенні ДР похибка на попередньому кроці веде до ще більшої похибки на наступному кроці, і як правило сумарна похибка зростає експоненціально з кількістю пройдених вже кроків. . Тож використовуємо модифікований метод Ейлера як найбільш точний.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию