Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
1.2 Уточнение корня
1.2.1 Метод Ньютона
2 Численное интегрирование
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Введение
Зачастую решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являться составной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения на устойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.
Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными.
Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде
где функция определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А < х < В.
Всякое значение х* , обращающее уравнение в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. .
С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения эквивалентна задаче нахождения нулей функции у= f (х) или абсцисс точек пересечения графика функции с осью X , т.е. значений х i , для которых выполняется условие (для i =1, 2,......).
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).
Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.
Итерационные (приближенные ) методы – это методы последовательных приближений.
Алгоритм нахождения приближенных значений корней уравнения складывается из двух этапов.
Первый этап - отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:
· исследовать количество, характер и расположение корней;
· найти их приближенные значения (нулевые итерации).
Второй этап - уточнение приближенного корня до заданной степени точности

1. Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
Отделить (локализовать) корни - это значит выделить из области допустимых значений функции f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень. Отделить корни можно разными способами: построением таблицы значений функции y = f ( x ) ; графическим методом; исходя из физического смысла задач. Рассмотрим более подробно графический метод. Построим график функции
Х
у=е^х+lnx-10*x
1,000000
-7,281718
1,200000
-8,497562
1,400000
-9,608328
1,600000
-10,576964
1,800000
-11,362566
2,000000
-11,917797
2,200000
-12,186529
2,400000
-12,101355
2,600000
-11,580751
2,800000
-10,525734
3,000000
-8,815851
3,200000
-6,304319
3,400000
-2,812125
3,600000
1,879168
3,800000
8,036186
4,000000
15,984444
4,200000
26,121416
4,400000
38,932473
4,600000
55,010372
4,800000
75,079033
5,000000
100,022597
Теорема 1. Если непрерывная на отрезке [a ; b ] функция f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)0 (или f/ (x<0) ) при а<х0. И выберем в качестве нулевого приближения х0 =5, для которого выполняется условие f ( x )* f ”( x ) >0.
Проведем касательную к кривой у= f ( x ) в точке В0 [х0 ; f ( x 0 ) ]. В качестве первого приближения корня х1 возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ . Через точку В1 [х1 ; f ( x 1 ) ] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.
Уравнение касательной в точке В1 [х1 ; f ( x 1 ) ] (п=0,1,2… ) к нашей кривой записывается
Пологая у=0 , х=хп+1 , получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность
.
Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ
Метод Ньютона
Выбор нулевого приближения: Х0=
5,0000
f(x)=е^х+lnх-10*х
f(X0)*f''(X0)>0
f'(x)=е^x+1/x-10
n
Xn
f(Xn)
f'(Xn)
If(Xn)I
0
5,00000
100,02260
138,61316
100,02260
1
4,27840
30,79482
62,35902
30,79482
2
3,78457
7,50210
34,28113
7,50210
3
3,56573
0,97941
25,64582
0,97941
4
3,52754
0,02541
24,32372
0,02541
5
3,52650
0,00002
24,28827
0,00002
6
3,52650
0,00000
24,28824
0,00000
7
3,52650
0,00000
24,28824
0,00000
8
3,52650
0,00000
24,28824
0,00000
Вывод: к заданной точности наиболее близка 5-я итерация.
, .
Проверим решение данного уравнения методом надстройки:
Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0
Х0
Xn
F(Xn)
3,5265
3,5265
0,00005
2 Численное интегрирование
При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определённого интеграла.
Очень часто применяют формулы для приближённого вычисления интегралов.
Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования .
Идея численного метода заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой вычисляется достаточно просто.

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию