Сравнительный анализ численных методов

Содержание
Введение
1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
1.1 Метод хорд
1.2 Практическое применение метода хорд
1.3 Метод касательных
1.4 Практическое применение метода касательных
1.4.1 Исследование функции
1.4.2 Исследование функции
1.5 Метод простой итерации
1.6 Практическое применение метода простой итерации
1.6.1 Исследование функции
1.6.2 Исследование функции
2. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования
2.1 Многочлен Лагранжа
2.2 Интерполяция сплайнами
2.3 Практическое применение метода интерполяции для решения уравнений
2.4 Практическое применение кубического и глобального сплайна
3. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
3.1 Метод простой итерации
3.2 Метод Зейделя
3.3 Практическое применение метода простых итераций при решении СЛАУ
3.4 Практическое применение метода Зейделя при решении СЛАУ
3.5 Программная реализация итерационных методов решения СЛАУ
4. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования
4.1 Методы численного дифференцирования
4.2 Методы численного интегрирования
5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
5.1 Метод Эйлера
5.2 Модификация метода Эйлера:
усовершенствованный метод Эйлера
5.3 Практическое применение метода Эйлера
5.4 Практическое применение уточненного метода Эйлера
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Целью нашей работы является сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, а также метод Эйлера.
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Для более глубокого анализа численных методов очень удобно использовать средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.
Задание:
По итерационным методам решения нелинейных уравнений:
Определить корень в заданном или выбранном отрезке методом хорд, касательных и простой итерации.
Используя результаты решений, указать наименьший полученный отрезок, в котором содержится корень уравнения.
Для каждого метода и каждой задачи построить график функции на [a, b] и убедиться в выполнении условия сходимости итерационной процедуры.
Используя функции F ( x) из п.1, построить интерполяционный многочлен L4 ( x) на [a, b], использовав в качестве узловых a и b, остальные необходимые узловые точки выбрать, разделив промежуток [a, b] на почти равные части. Вычислить значения F ( x) и L4 ( x) в двух точках, одна из которых - середина крайней части, а вторая - середина части, содержащей точку . Сравнить полученные величины. Используя эти же узловые точки, провести обратную интерполяцию и определить значение х при y=0 . Полученный результат сравнить с ранее найденным решением уравнения.
Сравнить результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации.
Провести сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования.
Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера и уточненным методом Эйлера с 5-ю и 20-ю шагами и сравнить их, если возможно с результатом точного решения ОДУ.
1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F ( x) =0 , где F ( x) - непрерывная функция, - встречается в различных областях научных исследований. Корнам (или решением) уравнения F ( x) =0 называется значение , при котором. Методы решения нелинейных уравнений делятся на:
прямые;
итерационные.
Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Такие методы применяются для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако, на практике встречаются уравнения, которые не удается решить простыми методами. Тогда используются итерационные методы решения, т.е. методы последовательных приближений.
Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:
этап локализации (или отделения) корней;
этап итерационного уточнения.
Локализация корней. Отрезок [a, b], содержащий только один корень уравнения F ( x) =0 , называют отрезком локализации корня . Цель этапа локализации считают достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корня удалось указать отрезок локализации (его длину по возможности стараются сделать минимальной). Прежде чем переходить к отыскиванию отрезков локализации, имеет смысл провести предварительное исследование задачи для выяснения того, существует ли вообще корни уравнения и как они расположены на числовой оси. Начальное приближение может быть найдено различными способами: из физических соображений, с помощью графических методов и т.д. Если оценку исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b , в которых непрерывная функция F ( x) принимает значения разных знаков, т.е. F ( a) F ( b) 0, F ( b) <0. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х0 , х1 ,… точек пересечения хорды с осью абсцисс.
Сначала найдем уравнение хорды АВ:
Для точки пересечения ее с осью абсцисс (y=0 ) получим уравнение
.

Далее, сравнивая знаки величин F ( a) и F ( x) для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале (a, x), так как F ( a) *F ( x) <0 ( условие существование корня). Отрезок [x, b] отбрасываем и больше не рассматриваем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения xn как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и так далее. На рисунке 1 изображена геометрическая интерпретация нахождение решения методом хорд.
Рисунок 1 - Метод хорд
При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка [a,b]. Из двух точек А и В выбирается х0 . Находится точка пересечения хорды с осью OX. Определяется значение функции в точке пересечения и из найденной точки проводится новая хорда. Этот процесс повторяется до получения необходимой точности.
Формула для n-го приближения имеет вид (х0 =а, xn -1 = b, xn = x):
В методе хорд условием окончания итераций является:
условие близости двух последовательных приближений: ;
условие малости невязки (величина F ( xn ) есть невязка, полученная на n -й итерации, а -число, с заданной точностью которого необходимо найти решение).
1.2 Практическое применение метода хорд
Исследование функции
Возьмем для исследования функцию и определим точность решения как =0,001.
Рисунок 2 - График функции
Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а= -0,45, b= -0,3).
1. Проверяем существование корня на отрезке по условию :

Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков
0,360
Экстремумов на выбранном отрезке нет.
3. Проверяем функцию на единственность корня
67.86>0
На данном промежутке имеется только один корень
4. Выбор точки х0 зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.
>0
Из условия следует, что х0 = a=-0.45 , тогда за х1 принимаем b - х1 = b=-0.3
5. Исходя из графика мы приняли за x0 =-0.45 и x1 =-0.3 . Найдем значение функции в этих точках:
Формула для решения
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 4-ой проведенной итерации.
Исследование функции
Возьмем для исследования функцию и определим точность решения как =0,001.
Рисунок 3 - График функции
Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а=-0,4, b=0,1).
1. Проверяем существование корня на отрезке по условию :
Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков
0,04327 0
На данном промежутке имеется только один корень.
4) Выбор точки х0 зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.
>0
Из условия следует, что х0 = a=-0.4 , тогда за х1 принимаем b - х1 = b=0.1
5. Исходя из графика мы приняли за x0=-0.4 и x1=0.1 . Найдем значение функции в этих точках:
Формула для решения
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 6-ой проведенной итерации.
1.3 Метод касательных
Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k -й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y= F ( x) при х= ck -1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корнях.
Рисунок 4 - Метод касательных
Уравнение касательной, проведенной к кривой y= F ( x) в некоторой точке с координатами х0 и F (х0 ) имеет вид:
y- F (х0 ) = F’ (х0 ) ( x-х0 ).
Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):
х=х0 - F (х0 ) / F’ (х0 ).
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных. Формула для n-го приближения имеет вид:

х n =х n-1 - F (х n-1 ) / F’ (х n-1 ), n=1,2,…
При этом необходимо, чтобы выполнялось условие F’ (х n-1 ) 0.
Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.
1.4 Практическое применение метода касательных
1.4.1 Исследование функции
Решим уравнение методом касательных:
Рисунок 5 - График функции
Применим формулы:
хn =хn-1 - F (хn-1 ) /F’ (хn-1 ) и
Первая производная от функции:

9,308 >0
Вторая производная от функции:
8,7 0.001
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 2-ой проведенной итерации.
Рисунок 6 - График для функции
Говоря о функции х=, - выбрав начальное приближение х0 строится последовательность хп стремящаяся к и условием сходимости здесь является , т.е. тангенс угла наклона касательной должен быть меньше 1 (угол должен составлять менее 45 градусов).

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать полную версию